理解“充要條件”具體概念

“充要條件”是數學中極其重要的一個概念。

　　（1）先看“充分條件和必要條件”

　　當命題“若p則q”為真時，可表示為p => q，則我們稱p為q的充分條件，q是p的必要條件。這里由p => q，得出p為q的充分條件是容易理解的。
 
但為什么說q是p的必要條件呢?

　　事實上，與“p => q”等價的逆否命題是“非q => 非p”。它的意思是：若q不成立，則p一定不成立。這就是說，q對于p是必不可少的，因而是必要的。

　　（2）再看“充要條件”

　　若有p =>q，同時q => p,則p既是q的充分條件，又是必要條件。簡稱為p是q的充要條件。記作p<=>q

　　回憶一下初中學過的“等價于”這一概念；如果從命題A成立可以推出命題B成立，反過來，從命題B成立也可以推出命題A成立，那么稱A等價于B，記作A<=>B。“充要條件”的含義，實際上與“等價于”的含義完全相同。也就是說，如果命題A等價于命題B，那么我們說命題A成立的充要條件是命題B成立；同時有命題B成立的充要條件是命題A成立。

　　（3）定義與充要條件

　　數學中，只有A是B的充要條件時，才用A去定義B，因此每個定義中都包含一個充要條件。如“兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”這一定義就是說，一個四邊形為平行四邊形的充要條件是它的兩組對邊分別平行。

　　顯然，一個定理如果有逆定理，那么定理、逆定理合在一起，可以用一個含有充要條件的語句來表示。

　　“充要條件”有時還可以改用“當且僅當”來表示，其中“當”表示“充分”。“僅當”表示“必要”。

　　（4）一般地，定義中的條件都是充要條件，判定定理中的條件都是充分條件，性質定理中的“結論”都可作為必要條件。