2008年高考數學復習：解析幾何專題熱點指導

　　天津市第四十二中學 張鼎言

　　5.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2=x1+x3，則有()

　　A.|FP1|+|FP2|=|FP3|

　　B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2

　　C.2|FP2|=|FP1|+|FP3|

　　D.|FP2|2=|FP1|·|FP3|

　　分析∵P1、P2、P3在拋物線上，

　　∴由拋物線定義

　　|PF1|=x1-(--)

　　=x1+-

　　|PF2|=x2+-

　　|PF3|=x3+-

　　又2x2=x1+x3

　　2(x2+-)=(x1+-)+(x3+-)

　　∴2|FP2|=|FP1|+|FP3|

　　選C

　　6.已知拋物線y=-x2+3上存在關于直線x+y=0對稱的相異兩點A、B，則|AB|等于()

　　(A)3(B)4

　　(C)3-(D)4-

　　解：A(x1，y1)，與B(x2，y2)關于直線x+y=0對稱，又A、B在拋物線上，

　　-

　　(2)-(1)：y1+x1=-x12+y12=(y1+x1)(y1-x1)

　　∵點A不在直線x+y=0上

　　∴x1+y1≠0，y1-x1=1，y1=x1+1代入(1)

　　-

　　A(-2，-1)，B(1，2)反之亦然

　　∴|AB|=3-，選C

　　7.雙曲線C1：---=1(a>0，b>0)的左準線為l，左焦點和右焦點分別為F1和F2；拋物線C2的準線為l，焦點為F2；C1與C2的一個交點為M，則---等于()

　　A.-1B.1

　　C.--D.-

　　解：|F1F2|=2c，設|MF1|=x，|MF2|=y

　　由M在雙曲線C1上，x-y=2a

　　M在拋物線C2上，|MN|=|MF2|=y

　　又M在C1上，由雙曲線第二定義-=-=-

　　-

　　---

　　=---=-1選A

　　注：本題把雙曲線定義、第二定義與拋物線定義連結在一起，這里M在C1、C2上是突破口，所以幾何圖形上的公共點是知識點的交叉點，是設計問題的重要根源.

　　(三)直線與圓錐曲線相切

　　復習導引：學習了導數，求圓錐曲線的切線多了一條重要途徑，歸結起來求切線可用判別式△=0或求導.

　　1.如圖，在平面直角坐標系xOy中，過y軸正方向上一點C(0，c)任作一直線，與拋物線y=x2相交于A、B兩點，一條垂直于x軸的直線，分別與線段AB和直線l：y=-c交于P，Q，(1)若-·■=2，求c的值；

　　(2)若P為線段AB的中點，求證：QA為此拋物線的切線；

　　(3)試問(2)的逆命題是否成立？說明理由。

　　解：(1)-

　　設A(x1，y1)、B(x2，y2)即A(x1，x12)、B(x2，x22)

　　△=k2+4c>0

　　x1+x2=k，x1·x2=-c，y1·y2=(x1·x2)2=c2

　　-·■=x1x2+(x1·x2)2=c2-c=2→c=2，c=-1(舍去)

　　解(2)線段AB中點P(xp，yp)

　　xp=-，yp=-

　　∴xp=-，Q(-，-c)

　　kAQ=-

　　=-=2x1

　　又過A點的切線斜率

　　k=y'-=2x1

　　∴AQ是此拋物線在A點的切線。

　　解(3)過A點的切線：y-y1=2x1(x-x1)

　　y-x12=2x1(x-x1)

　　化簡y=2x1x-x12

　　Q(-，-c)是否滿足方程。

　　y=2·x1·■-x12=x1·x2=-c

　　∴過A點的切線過Q點

　　∴逆命題成立