2008年高考數學復習：解析幾何專題熱點指導

　　如右圖，中心在原點O的橢圓的右焦點為F(3，0)，右準線l的方程為x=12。

　　(Ⅰ)求橢圓的方程；

　　(Ⅱ)在橢圓上任取三個不同點P1、P2、P3，使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1，證明：-+-+-為定值，并求此定值。

　　解：(1)-=12，c=3，a2=36，b2=27，

　　∴-+-=1

　　分析：(2)本問給出的是“角”，這就需要“轉化”，用“角”的三角函數表示距離。

　　設|FP1|與x軸正方向夾角為α，0α<-

　　P1到l的距離應為：

　　--c-|FP1|cosα

　　∴由橢圓第二定義

　　|FP1|=e(--c-|FP1|cosα)

　　這里e=-·|FP1|

　　=-(9-|FP1|cosα)

　　∴-=-(2+cosα)

　　同理-=-[2+cos(α+-)]

　　-=-[2+cos(α+-)]

　　∴-+-+-=-[6+cosα+cos(α+-)+cos(α+-)]

　　而cosα+cos(α+-)+cos(α+-)=0

　　∴-+-+-=-

　　注：本題(2)是在橢圓第二定義基礎上的變化，這種變化是以直角三角函數的綜合來呈現，但問題的關鍵是推導目標需要求出|FPi|，i=1，2，3。

　　3. 已知拋物線x2=4y的焦點為F，A、B是拋物線上的兩動點，且-=λ-(λ>0)。過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M。

　　(Ⅰ)證明-·■為定值；

　　(Ⅱ)設△ABM的面積為S，寫出S=f(λ)的表達式，并求S的最小值。

　　解：(Ⅰ)由已知條件，得F(0，1)，λ>0。

　　設A(x1，-x12)，B(x2，-x22)。由-=λ-，λ>0。

　　-

　　-

　　-

　　過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是

　　-

　　解出交點M的坐標為(-，-)，M(-，-1)

　　-·■=-(x22-x12)-2(-x22--x12)=0

　　所以-·■為定值，其值為0，|-|⊥|-|。

　　(Ⅱ)由拋物線的定義：

　　|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=λ+-+2=(-+-)2

　　|FM|⊥|AB|，S=-|AB||FM|.

　　|FM|=-

　　=-

　　=-

　　=-

　　=-+-

　　S=-|AB||FM|=-(-+-)34，

　　當且僅當-=-，λ=1時，S取得最小值4。

　　4. 已知橢圓C1：-+-=1，拋物線C2：(y-m)2=2px(p>0)，且C1，C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點。

　　(Ⅰ)當AB⊥x軸時，求m，p的值，并判斷拋物線C2的焦點是否在直線AB上；

　　(Ⅱ)是否存在m，p的值，使拋物線C2的焦點恰在直線AB上？若存在，求出符合條件的m，p的值；若不存在，請說明理由。

　　解：(Ⅰ)C1的右焦點F2(1，0)，當AB⊥x軸時，

　　由C1方程A(1，-)，又A、B關于x軸對稱，

　　所以m=0，A(1，-)在C2上，可知C2的焦點(-，0)不在直線AB上。

　　(Ⅱ)解法一：LAB -=k

　　設A(x1，y1)、B(x2，y2)在C1上，

　　由-

　　(1)-(2)：-+-k=0 (A)

　　上面的方法給我們一個重要的啟示，LAB與C1相交時不是用聯立方程組化為一元二次方程，求出△，x1+x2，x1x2等過渡量。理由是后面的推導不需要x1x2。