二次函數在高中階段的應用范圍
來源：網絡資源 2009-03-16 13:05:07
在初中教材中，對二次函數作了較詳細的研究，由于初中學生基礎薄弱，又受其接受能力的限制，這部份內容的學習多是機械的，很難從本質上加以理解。進入高中以后，尤其是高三復習階段，要對他們的基本概念和基本性質（圖象以及單調性、奇偶性、有界性）靈活應用，對二次函數還需再深入學習。
一、進一步深入理解函數概念
初中階段已經講述了函數的定義，進入高中后在學習集合的基礎上又學習了映射，接著重新學習函數概念，主要是用映射觀點來闡明函數，這時就可以用學生已經有一定了解的函數，特別是二次函數為例來加以更深認識函數的概念。二次函數是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射?:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合A的元素X對應，記為?(x)= ax2+ bx+c(a≠0)這里ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學生對函數的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題：
類型I：已知?(x)= 2x2+x+2，求?(x+1)
這里不能把?(x+1)理解為x=x+1時的函數值，只能理解為自變量為x+1的函數值。
類型Ⅱ：設?(x+1)=x2－4x+1,求?(x)
這個問題理解為，已知對應法則?下，定義域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定義域中元素X的象，其本質是求對應法則。
一般有兩種方法：
(1)把所給表達式表示成x+1的多項式。
?(x+1)=x2－4x+1=(x+1)2－6(x+1)+6，再用x代x+1得?(x)=x2－6x+6
(2) 變量代換：它的適應性強，對一般函數都可適用。
令t=x+1，則x=t-1 ∴(t)=(t-1)2－4(t-1)+1=t2－6t+6從而?(x)= x2－6x+6
二、二次函數的單調性，最值與圖象。
在高中階階段學習單調性時，必須讓學生對二次函數y=ax2+bx+c在區間（－∞，－b2a ]及[－b2a ，+∞） 上的單調性的結論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎上，與此同時，進一步充分利用函數圖象的直觀性，給學生配以適當的練習，使學生逐步自覺地利用圖象學習二次函數有關的一些函數單調性。
類型Ⅲ：畫出下列函數的圖象，并通過圖象研究其單調性。
（1）y=x2+2|x－1|－1
（2）y=|x2－1|
（3）= x2+2|x|－1
這里要使學生注意這些函數與二次函數的差異和聯系。掌握把含有絕對值記號的函數用分段函數去表示，然后畫出其圖象。
類型Ⅳ設?(x)=x2－2x－1在區間[t,t+1]上的最小值是g(t)。
求：g(t)并畫出 y=g(t)的圖象
解：?(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，在x=1時取最小值－2
當1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=－2
當t＞1時，g(t)=?(t)=t2－2t－1
當t＜0時，g(t)=?(t+1)=t2－2
t2－2, (t<0)
g(t)= -2，(0≤t≤1)
t2－2t－1, (t>1)
首先要使學生弄清楚題意，一般地，一個二次函數在實數集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當定義域發生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學生補充一些練習。
如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求該函數的值域。
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