高中數學競賽講座20講
2009-08-29 17:36:51網絡資源
競賽講座01
－奇數和偶數
整數中，能被2整除的數是偶數，反之是奇數，偶數可用2k表示 ，奇數可用2k+1表示，這里k是整數.
關于奇數和偶數，有下面的性質：
（1）奇數不會同時是偶數；兩個連續整數中必是一個奇數一個偶數；
（2）奇數個奇數和是奇數；偶數個奇數的和是偶數；任意多個偶數的和是偶數；
（3）兩個奇（偶）數的差是偶數；一個偶數與一個奇數的差是奇數；
（4）若a、b為整數，則a+b與a-b有相同的奇數偶；
（5）n個奇數的乘積是奇數，n個偶數的乘積是2n的倍數；順式中有一個是偶數，則乘積是偶數.
以上性質簡單明了，解題時如果能巧妙應用，常常可以出奇制勝.
1.代數式中的奇偶問題
例1（第2屆"華羅庚金杯"決賽題）下列每個算式中，最少有一個奇數，一個偶數，那么這12個整數中，至少有幾個偶數？
□+□=□， □-□=□，
□×□＝□ □÷□＝□.
解 因為加法和減法算式中至少各有一個偶數，乘法和除法算式中至少各有二個偶數，故這12個整數中至少有六個偶數.
例2 （第1屆"祖沖之杯"數學邀請賽）已知n是偶數，m是奇數，方程組
是整數，那么
（A）p、q都是偶數. （B）p、q都是奇數.
（C）p是偶數，q是奇數 （D）p是奇數，q是偶數
分析 由于1988y是偶數，由第一方程知p=x=n+1988y，所以p是偶數，將其代入第二方程中，于是11x也為偶數，從而27y=m-11x為奇數，所以是y=q奇數，應選（C）
