幾個重要不等式(二)柯西不等式

　　幾個重要不等式(二)柯西不等式

　　，當且僅當bi=lai(1￡i￡n)時取等號

　　柯西不等式的幾種變形形式

　　1.設ai?R,bi>0(i=1,2,…,n)則，當且僅當bi=lai(1￡i￡n)時取等號

　　2.設ai,bi同號且不為零(i=1,2,…,n)，則，當且僅當b1=b2=…=bn時取等號

　　例1.已知a1,a2,a3,…,an，b1,b2,…,bn為正數，求證：

　　證明：左邊=

　　例2.對實數a1,a2,…,an,求證：

　　證明：左邊=

　　例3.在DABC中，設其各邊長為a,b,c,外接圓半徑為R，求證：

　　證明：左邊3

　　例4.設a,b,c為正數，且a+b+c=1,求證：

　　證明：左邊=

　　3

　　=

　　=

　　例5.若n是不小于2的正整數，試證：

　　證明：

　　所以求證式等價于

　　由柯西不等式有

　　于是：

　　又由柯西不等式有

　　<

　　例6.設x1,x2,…,xn都是正數(n32)且，求證：

　　證明：不等式左端即(1)

　　∵，取，則(2)

　　由柯西不等式有(3)

　　及

　　綜合(1)、(2)、(3)、(4)式得：

　　三、排序不等式

　　設a1￡a2￡…￡an,b1￡b2￡…￡bn;r1,r2,…,rn是1,2,…,n的任一排列，則有：

　　a1bn+a2bn-1+…+anb1￡a1br1+a2br2+…+anbrn￡a1b1+a2b2+…+anbn

　　反序和￡亂序和￡同序和

　　例1.對a,b,c?R+,比較a3+b3+c3與a2b+b2c+c2a的大小

　　解：取兩組數a,b,c；a2,b2,c2，則有a3+b3+c33a2b+b2c+c2a

　　例2.正實數a1,a2,…,an的任一排列為a1/,a2/,…an/，則有

　　證明：取兩組數a1,a2,…,an；

　　其反序和為，原不等式的左邊為亂序和，有

　　例3.已知a,b,c?R+求證：

　　證明：不妨設a3b3c>0,則>0且a123b123c12>0

　　則

　　例4.設a1,a2,…,an是1,2,…,n的一個排列，求證：

　　證明：設b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一個排列，且b1<b2<…<bn-1；

　　c1,c2,…,cn-1是a2,a3,…,an的一個排列,且c1<c2<…<cn-1

　　則且b131,b232,…,bn-13n-1；c1￡2,c2￡3,…,cn-1￡n

　　利用排序不等式有：

　　例5.設a,b,c?R+,求證：

　　證明：不妨設a3b3c,則，a23b23c2>0

　　由排序不等式有：

　　兩式相加得

　　又因為：a33b33c3>0,

　　故

　　兩式相加得

　　例6.切比雪不等式：若a1￡a2￡…￡an且b1￡b2￡…￡bn,則

　　a1￡a2￡…￡an且b13b23…3bn,則

　　證明：由排序不等式有：

　　a1b1+a2b2+…+anbn=a1b1+a2b2+…+anbn

　　a1b1+a2b2+…+anbn3a1b2+a2b3+…+anb1

　　a1b1+a2b2+…+anbn3a1b3+a2b4+…+anb2

　　…………………………………………

　　a1b1+a2b2+…+anbn3a1bn+a2b1+…+anbn-1

　　將以上式子相加得：

　　n(a1b1+a2b2+…+anbn)3a1(b1+b2+…+bn)+a2(b1+b2+…+bn)+…+an(b1+b2+…+bn)

　　∴