復數的萌芽、形成與發展

　　我們知道，在實數范圍內，解方程是無能為力的，只有把實數集擴充到復數集才能解決。對于復數a＋bi（a、b都是實數）來說，當b=0時，就是實數；當b≠0時叫虛數，當a=0，b≠0時，叫做純虛數。可是，歷史上引進虛數，把實數集擴充到復數集可不是件容易的事，那么，歷史上是如何引進虛數的呢？
　　
　　16世紀意大利米蘭學者卡當（1501—1576）在1545年發表的《重要的藝術》一書中，公布了三次方程的一般解法，被后人稱之為“卡當公式”。他是第一個把負數的平方根寫到公式中的數學家，并且在討論是否可能把10分成兩部分，使它們的乘積等于40時，他把答案寫成=40，盡管他認為和這兩個表示式是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的，但他還是把10分成了兩部分，并使它們的乘積等于40。給出“虛數”這一名稱的是法國數學家笛卡爾（1596—1650），他在《幾何學》（1637年發表）中使“虛的數’‘與“實的數”相對應，從此，虛數才流傳開來。
　　
　　數系中發現一顆新星──虛數，于是引起了數學界的一片困惑，很多大數學家都不承認虛數。德國數學家菜不尼茨（1664—1716）在1702年說：“虛數是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物”。瑞士數學大師歐拉（1707—1783）說；“一切形如，習的數學武子都是不可能有的，想象的數，因為它們所表示的是負數的平方根。對于這類數，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻。”然而，真理性的東西一定可以經得住時間和空間的考驗，最終占有自己的一席之地。法國數學家達蘭貝爾（1717—1783）在1747年指出，如果按照多項式的四則運算規則對虛數進行運算，那么它的結果總是的形式（a、b都是實數）（說明：現行教科書中沒有使用記號＝－i，而使用=一1）。法國數學家棣莫佛（1667—1754）在1730年發現公式了，這就是著名的探莫佛定理。歐拉在1748年發現了有名的關系式，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i來表示一1的平方根，首創了用符號i作為虛數的單位。“虛數”實際上不是想象出來的，而它是確實存在的。挪威的測量學家成塞爾（1745—1818）在1779年試圖給于這種虛數以直觀的幾何解釋，并首先發表其作法，然而沒有得到學術界的重視。
　　
　　德國數學家高斯（1777—1855）在1806年公布了虛數的圖象表示法，即所有實數能用一條數軸表示，同樣，虛數也能用一個平面上的點來表示。在直角坐標系中，橫軸上取對應實數a的點a，縱軸上取對應實數b的點b，并過這兩點引平行于坐標軸的直線，它們的交點c就表示復數a＋bi。象這樣，由各點都對應復數的平面叫做“復平面”，后來又稱“高斯平面”。高斯在1831年，用實數組（a，b）代表復數a＋bi，并建立了復數的某些運算，使得復數的某些運算也象實數一樣地“代數化”。他又在1832年第一次提出了“復數”這個名詞，還將表示平面上同一點的兩種不同方法──直角坐標法和極坐標法加以綜合。統一于表示同一復數的代數式和三角式兩種形式中，并把數軸上的點與實數—一對應，擴展為平面上的點與復數—一對應。高斯不僅把復數看作平面上的點，而且還看作是一種向量，并利用復數與向量之間—一對應的關系，闡述了復數的幾何加法與乘法。至此，復數理論才比較完整和系統地建立起來了。
　　
　　經過許多數學家長期不懈的努力，深刻探討并發展了復數理論，才使得在數學領域游蕩了200年的幽靈──虛數揭去了神秘的面紗，顯現出它的本來面目，原來虛數不虛呵。虛數成為了數系大家庭中一員，從而實數集才擴充到了復數集。
　　
　　隨著科學和技術的進步，復數理論已越來越顯出它的重要性，它不但對于數學本身的發展有著極其重要的意義，而且為證明機翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力，也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據。