四色命題

　　四色命題：任何一張平面地圖，僅需四種不同顏色即可將所有區域（國家）完全區分開來。
　　
　　如果將一個區域看成是一個點，則兩個相鄰區域可以看成是兩點相連接。由此四色命題可以等價為：
　　
　　等價命題1：
　　
　　平面上有任意多點，這些點必須滿足條以下兩個條件：
　　
　　條件1：點與點之間連接線互相不能交*
　　
　　條件2：如果兩點相連接，則這兩點必須用不同的顏色以示區分。
　　
　　證明僅需四種不同顏色即可完全區分所有點。
　　
　　僅當平面上有5個點它們兩兩互相連接，需要我們用5種不同顏色來區分它們，由此可將命題1等價為
　　
　　等價命題2：
　　
　　平面上有任意多點，這些點必須滿足條以下兩個條件：
　　
　　條件1：點與點之間連接線互相不能交*
　　
　　條件2：如果兩點相連接，則這兩點必須用不同的顏色以示區分。
　　
　　證明平面上不存在這樣的五個點：它們兩兩互相連接，因而需要五種顏色來區分它們。
　　
　　對于等價命題2的證明如下：
　　
　　平面上任何兩兩互相連接且連接線不相交的四點所構成的幾何圖形同構于如下圖1所示：

　　該幾何圖形存在著一個封閉點D，并構成區域ABD，BCD和ADC。
　　
　　現在考慮增加第五點E，存在兩種情況：
　　
　　E點在區域ABD，BCD和ADC這外
　　
　　由于D點是封閉點，E點不可能與D點相連接且不與AB，BC，AC之任一條相交。
　　
　　E點在區域ABD，BCD和ADC的任一個之中。
　　
　　由于E點區域之中，則不可能與區域之外的另一點相連接而不與組成區域的邊相交。
　　
　　綜合以上所述，不存在同滿足條件的任意五點。因此不需要第五種顏色來區分。