黎曼

　　黎曼，G．F．B（Riemann，GeorgFriedrichBernhard）1826年9月17日生于德國(guó)漢若威的布雷斯塞論茨；1866年7月20日卒于意大利塞拉斯卡。

　　黎曼是對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)影響最大的數(shù)學(xué)家之一，我們從他當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)水平來(lái)看，他作為偉大的分析學(xué)家，其成就可以分為八個(gè)領(lǐng)域來(lái)論述。前4個(gè)領(lǐng)域是關(guān)于復(fù)分析方面的，他第一個(gè)有意識(shí)的將實(shí)域過(guò)渡到復(fù)域，開(kāi)創(chuàng)了復(fù)變函數(shù)域，代數(shù)函數(shù)論，常微分方程解析理論及解析數(shù)論諸方向；后4個(gè)領(lǐng)域主要涉及實(shí)分析，在積分理論，三角級(jí)理論，微分幾何學(xué)，數(shù)學(xué)物理方程等方面取得重大突破。重要的是一個(gè)多世紀(jì)之前的成就卻直接同現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的拓?fù)浞椒�，一般流形概念，�?lián)系拓?fù)渑c分析的黎曼－洛赫定理，代數(shù)幾何學(xué)特別是阿貝爾簇以及參模等緊密相連，他的空間觀念及黎曼幾何更預(yù)示著廣義相對(duì)論，正是他促發(fā)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的革命性變革。

　　他的具體成就有：

　　一、復(fù)變函數(shù)論

　　黎曼和柯西及魏爾斯特拉斯被公認(rèn)為復(fù)變函數(shù)論三大奠基人。而黎曼：

　　1．通過(guò)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義，建立復(fù)變函數(shù)論的基礎(chǔ)。

　　2．對(duì)多值函數(shù)定義黎曼曲面。

　　3．黎曼曲面的拓?fù)洌ɡ杪�是第一個(gè)研究曲面拓?fù)涞娜�，他引進(jìn)橫剖線的方法來(lái)研究曲面的連通性質(zhì)）。

　　4．黎曼曲面上的函數(shù)論（黎曼研究的基本問(wèn)題是黎曼曲面上函數(shù)的存在性及唯一性問(wèn)題。他比以前數(shù)學(xué)家的先進(jìn)之處在于，函數(shù)的存在不必通過(guò)構(gòu)造出解析表達(dá)式來(lái)證明，黎曼可以通過(guò)其奇點(diǎn)來(lái)定義，這對(duì)后世數(shù)學(xué)有重要影響。）。

　　5．狄利克雷原理（黎曼給出其證明并有效地表述及運(yùn)用狄利克雷原理，這個(gè)原理是他從狄利克雷的課程中學(xué)來(lái)的）。

　　二、阿貝爾函數(shù)論

　　關(guān)于阿貝爾函數(shù)，黎曼發(fā)表過(guò)兩篇文章：一是《阿貝爾函數(shù)論》，一是《論函數(shù)的零點(diǎn)》。

　　1．阿貝爾積分的表示及分類（黎曼對(duì)由定義的黎曼曲面上所有阿貝爾積分進(jìn)行了分類。第一類阿貝爾積分，在黎曼曲面上處處有界。線性獨(dú)立的第一類阿貝爾積分的數(shù)目等于曲面的虧格p，如果曲面的連通數(shù)，這p個(gè)阿貝爾積分稱為基本積分。第二類阿貝爾積分，在黎曼曲面上以有限多點(diǎn)為極點(diǎn)。第三類阿貝爾積分，在黎曼曲面上具有對(duì)數(shù)奇點(diǎn)。每一個(gè)阿貝爾積分均為以上三類積分的和。

　　2．黎曼－洛赫定理（這是代數(shù)函數(shù)論及代數(shù)幾何學(xué)最重要的定理。黎曼得到的黎曼不等式，是黎曼－洛赫定理的原始形態(tài)）。

　　3．黎曼矩陣，黎曼點(diǎn)集和阿貝爾函數(shù)。

　　4．函數(shù)及雅可比反演問(wèn)題（為了研究雅可比簇，黎曼推廣雅可比函數(shù)，引進(jìn)了黎曼函數(shù)）。

　　5．雙有理變換的概念和參模。

　　三、超幾何級(jí)數(shù)和常微分方程

　　超幾何微分方程有3個(gè)奇點(diǎn)0，1，α，它作為二階微分方程有兩個(gè)獨(dú)立特解y1和y2，其他解均為這兩解的線形組合。黎曼的思想是當(dāng)y1，y2沿繞奇點(diǎn)的路徑變化時(shí)必經(jīng)歷線形變換。對(duì)于所有繞奇點(diǎn)的路徑，這些變換組成群。他把結(jié)果推廣到m個(gè)奇點(diǎn)n個(gè)獨(dú)立函數(shù)的情形，他證明給定線形變換后，這n個(gè)獨(dú)立函數(shù)滿足一個(gè)n階線形微分方程，但他沒(méi)有證明這些奇點(diǎn)（支點(diǎn)）和這些變換可以任意選取，從而留下了著名的黎曼問(wèn)題。希爾伯特把他列入23個(gè)問(wèn)題中的第21個(gè)問(wèn)題。

　　四、解析理論

　　黎曼是現(xiàn)代意義下解析數(shù)論的奠基者，生前他只在1859年發(fā)表過(guò)一篇論文《論給定數(shù)以內(nèi)的素?cái)?shù)數(shù)目》。

　　五、實(shí)分析──函數(shù)觀念，黎曼積分，傅立葉級(jí)數(shù)，連續(xù)不可微函數(shù)

　　黎曼積分是數(shù)學(xué)特別是物理應(yīng)用的主要分析工具；黎曼還是最早認(rèn)識(shí)到連續(xù)性及可微性的區(qū)別的數(shù)學(xué)家之一。

　　六、幾何學(xué)

　　黎曼的空間觀念使數(shù)學(xué)及物理發(fā)生空前的變革。黎曼的幾何論文有兩篇，一篇是他的授課資格的演講，另一篇是所謂《巴黎之作》，即《論熱傳導(dǎo)問(wèn)題》。