1999中國數(shù)學(xué)奧林匹克（北京）（第十四屆全國中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營）

　　第一天（1999年1月11日上午8:00-12:30）

　　一、在銳角△ABC中，∠C＞∠B，點D是邊BC上一點，使得∠ADB是鈍角，H是△ABD的垂心，點F在△ABC內(nèi)部且在△ABD的外接圓周上，求證點F是△ABC垂心的充分必要條件是：HD平行于CF且H在△ABC的外接圓周上.

　　二、給定實數(shù)a，設(shè)實多項式序列{fn(x)}滿足f0(x)=1，fn+1(x)=xfn(x)+fn(ax)，n=0,1,2,……

　�。�1）求證fn(x)=xnfn(1/x)，n=0,1,2,……

　�。�2）求fn(x)的明顯表達(dá)式.

　　三、MO太空城由99個空間站組成。任兩空間站之間有管形通道相聯(lián)。規(guī)定其中99條通道為雙向通行的主干道，其余通道嚴(yán)格單向通行。如果某四個空間站可能通過它們之間的通道從其中任一站到達(dá)另外任一站，則稱這四個站的集合為一個互通四站組。

　　試為MO太空城設(shè)計一個方案，使得互通四站組的數(shù)目最大（請具體算出該最大數(shù)，并證明你的結(jié)論）

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　　第二天（1999年1月12日上午8:00-12:30）

　　四、設(shè)m是給定的整數(shù).求證：存在整數(shù)a，b和k.其中a，b均不能被2整除，k≥0，使得

　　2m=a19+b99+k·21999.

　　五、求最大的實數(shù)λ，使得當(dāng)實系數(shù)多項式f(x)=x3+ax2+bx+c的所有根都是非負(fù)實數(shù)時，只要x≥0，就有f(x)≥λ(x－a)3.并問上式中等號何時成立？

　　六、設(shè)4×4×4的大正方體由64個單位正方體組成.選取其中的16個單位正方體涂成紅色，使得大正方體中每個由4個單位正方體構(gòu)成的1×1×4的小長方體中，都恰有1個紅正方體.問16個紅正方體共有多少種不同取法？說明理由.