27屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克競賽

27屆美國數(shù)學(xué)奧林匹克競賽

第一部分（上午9：00-12：00） 1998年4月28   1．已知：集合{1、2、…..1998}，把其中的元素兩兩一組分成不同的數(shù)組{ai，bi}（1≤i≤999）， 　　　　　　 使得對于所有i都有| ai - bi| 等于1或6。 求證：| a1 – b1|+| a2- b2|+。。。+| a999 – b999|的和的各位數(shù)為9。 2．已知：c1、c2為同心圓c2在c1內(nèi)部，過A點(diǎn)做c2的切線AC，切點(diǎn)為B，D是AB中點(diǎn)，直線AE與圓c2交于E、F，使得線段DE、CF的垂直平分線的交點(diǎn)M在直線AB上。（下為參考圖） 　 求：AM/MC并寫出理由。 3．已知：數(shù)a0，a1，。。。an屬于（0，π/2）， 且tan（a0—π/4）+ tan（a1—π/4）+。。。+ tan（an—π/4）≥n—1。 　 求證：tan a0 tan a1 ···tan an≥n n—1。   第二部分（下午1：00-4：00） 1998年4月28 4．設(shè)想：計(jì)算機(jī)屏幕上有一個(gè)98×98的國際象棋棋盤（黑白相間），你可以按住鼠標(biāo)左鍵拖動(dòng)鼠標(biāo)選定任意區(qū)域的方格，點(diǎn)擊右鍵可使在你選定區(qū)域內(nèi)的所有方格的顏色發(fā)生改變（黑的變白，白的變黑）。求：把棋盤所有方格變?yōu)橥�一種顏色所需點(diǎn)擊鼠標(biāo)的最少次數(shù)，并證明。 5．求證：存在包含n（n≥2）個(gè)整數(shù)的集合S，使（a—b）2整除ab，其中a、b∈S。 6．對于凸多邊形A1A2。。。An（其中n≥5），有k（k是n的一個(gè)函數(shù)）個(gè)四邊形AiAi+1Ai+2Ai+3 存在內(nèi)切圓，試求整數(shù)k的最大值。（這里：An+j=Aj）