第三屆北京高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽初賽
2009-08-31 12:26:25網(wǎng)絡(luò)來源
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試題
1.根據(jù)國(guó)家版權(quán)局《書籍稿酬暫行規(guī)定》，書籍稿酬由基本稿酬和印數(shù)稿酬組成。 基本稿酬的標(biāo)準(zhǔn)為：（1）著作稿酬每千字10至30元，確有學(xué)術(shù)價(jià)值的，可適當(dāng)提高，但每千字不超過40元；（2）詞書稿有兩種計(jì)酬方法：其一是按一般著作稿標(biāo)準(zhǔn)另加15%至20%計(jì)算（詞條書目）；其二是按每千字20元至30元計(jì)算，另增加20%至30%的基本稿酬（百科全書詞條）。 印數(shù)稿酬的標(biāo)準(zhǔn)為：（1）一般書籍，印數(shù)在一萬冊(cè)以內(nèi)的，以一萬冊(cè)計(jì)算付基本稿酬的8%。印數(shù)超過一萬冊(cè)的，其超過部分每千冊(cè)付基本稿酬的0.8%。（2）確有學(xué)術(shù)價(jià)值而印數(shù)較少的專著，印數(shù)在一萬冊(cè)以內(nèi)的，以一萬冊(cè)計(jì)算付基本稿酬的30%，印數(shù)超過一萬冊(cè)的，計(jì)算方法同（1）。 根據(jù)以上內(nèi)容，解答下列問題。 （1） 若印x 千冊(cè)，試寫出每千字最高稿酬f(x) 和每千字最低稿酬g(x) 的函數(shù)關(guān)系式； （2） 若王教授出版了一本25.4萬字的書，印數(shù)1.8萬冊(cè)，試計(jì)算他可獲得的最高稿酬和最低稿酬。 2． 小童的父親要到美國(guó)訪問，受人之托希望多帶點(diǎn)東西。中國(guó)民航的《國(guó)際旅客須知》中有關(guān)規(guī)定："計(jì)件免費(fèi)行李額"中規(guī)定"適用中美、中加國(guó)際航線上的行李運(yùn)輸……。經(jīng)濟(jì)和旅游折扣票價(jià)，免費(fèi)交運(yùn)的行李數(shù)為兩件，每件箱體三邊之和不超過62英寸（158厘米），但兩件之和不得超過107英寸（273厘米），每件最大重量不得超過32公斤。"試問這兩個(gè)箱子的長(zhǎng)、寬、高各為多少可達(dá)最大體積？ 請(qǐng)到市場(chǎng)上看看，商店出售的行李箱的尺寸與你計(jì)算所得結(jié)果是否近似？為什么？ 3． 今年年初由中國(guó)建設(shè)銀行北京市分行印發(fā)的《個(gè)人住房貸款簡(jiǎn)介》的小冊(cè)子中介紹了有關(guān)個(gè)人住房貸款的有關(guān)問題。其中指明貸款額最高為擬購(gòu)買住房費(fèi)用總額的70%；貸款期限最長(zhǎng)為20年。個(gè)人住房貸款利率如附表1所示。借款人在借款期內(nèi)每月以相等的月均還款額償還銀行貸款本金和利息。附表2列出了不同貸款期限下的月均還款額、還款總額和利息負(fù)擔(dān)總和。試給出公式說明附表2中后三列數(shù)是如何算出來的。 近年來國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)，中國(guó)人民銀行決定從1999年9月21日起，延長(zhǎng)個(gè)人住房貸款期限并降低利率以支持城鎮(zhèn)居民購(gòu)房。各商業(yè)銀行個(gè)人住房貸款的最長(zhǎng)期限由現(xiàn)行的20年延長(zhǎng)到30年。每筆貸款年限由商業(yè)銀行依據(jù)借款個(gè)人的年齡、工作年限、還款能力等因素與借款人協(xié)商確定。個(gè)人住房款年利率最高水平降為5.88%。并根據(jù)貸款期限劃分為兩個(gè)檔次：5年以下（含5年）為年利率5.31，5年以上為年利率5.88%。 請(qǐng)你根據(jù)新規(guī)定計(jì)算5年期、20年期的月均還款額、還款總額和利息負(fù)擔(dān)總和，并與原附表2中的同期貸款的負(fù)擔(dān)情況比較，住房貸款的負(fù)擔(dān)各降低了多少。 附表1 中國(guó)建設(shè)銀行北京分行個(gè)人住房貸款利率表
附表2 中國(guó)建設(shè)銀行北京分行個(gè)人住房貸款1~20年月均還款金額表 （借款額為壹萬元） 單位：元
（本表自1998年12月7日起執(zhí)行） 4． 某化工廠從今年一月起，若不改善生產(chǎn)環(huán)境，按現(xiàn)狀生產(chǎn)，每月收入為70萬元，同時(shí)將受到環(huán)保部門的處罰，第一個(gè)月罰3萬元，以后逐月遞增2萬元。如果從今年一月起投資500萬元增加回收凈化設(shè)備（改造設(shè)備時(shí)間不計(jì)），一方面可以改善環(huán)境，另一方面也可以大大降低原料成本。據(jù)測(cè)算投產(chǎn)后的前5個(gè)月中的累計(jì)凈收入是生產(chǎn)時(shí)間 n（以月為單位）的二次函數(shù)，生產(chǎn)前1、前2、前3個(gè)月的累計(jì)收入分別可達(dá)101萬元、204萬元和309萬元，以后穩(wěn)定在第5個(gè)月的水平。同時(shí)該廠不但不受罰，而且還將得到環(huán)保部門一次性100萬元的獎(jiǎng)勵(lì)。問經(jīng)過多少個(gè)月，投資開始見效，即投資改造后的純收入多于不改造時(shí)的純收入。 5． 據(jù)世界人口組織公布，地球上的人口在公元元年為2.5億，1600年為5億，1830年為10億，1930年為20億，1960年為30億，1974年為40億，1987年為50億，到1999年底，地球上的人口數(shù)達(dá)到了60億。請(qǐng)你根據(jù)20世紀(jì)人口增長(zhǎng)規(guī)律推測(cè)，到哪年世界人口將達(dá)到100億？到2100年地球上將會(huì)有多少人口？ 6． 國(guó)慶慶典活動(dòng)的中心廣場(chǎng)有數(shù)萬名學(xué)生手持圓花組成大型圖案方陣，方陣前排距觀禮臺(tái)120米，方陣縱列95人，每列長(zhǎng)度192米，問第一、二排間距多大能達(dá)到滿意的觀禮效果？ 7． 在某1000個(gè)人中有10個(gè)人患有一種病，現(xiàn)要通過驗(yàn)血把這10個(gè)病人查出來，若采用逐個(gè)人化驗(yàn)的方法需化驗(yàn)999次，（這里所需化驗(yàn)次數(shù)是指在最壞情況下化驗(yàn)次數(shù)，如果碰巧，可能首先化驗(yàn)的10個(gè)人全是病人，10次化驗(yàn)就夠了。下面討論的化驗(yàn)次數(shù)均指最壞情況下的化驗(yàn)次數(shù)）。 為了減少化驗(yàn)次數(shù)，人們采用分組化驗(yàn)的辦法，即把幾個(gè)人的血樣混在一起，先化驗(yàn)一次，若化驗(yàn)合格，則這幾個(gè)人全部正常，若混合血樣不合格，說明這幾個(gè)人中有病人，再對(duì)它們重新化驗(yàn)（逐個(gè)化驗(yàn)，或再分成小組化驗(yàn)）。 試給出一種分組化驗(yàn)方法使其化驗(yàn)次數(shù)盡可能地小，不超過100次。
參考解答 1.解 (1) （2）此時(shí)x=18,f(18)=65.472,g(18)=11.44 ，因此此書25.4萬字（254千字），所以最高稿酬為 65.472×254=16629.888≈16629.89（元），最低稿酬為11.44×254=2095.76 （元） 2．解 設(shè)長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,c 顯然a>0,b>0,c>0. 若a+b+c 一定（≤158）, 根據(jù)a+b+c≥ 設(shè)兩個(gè)正方體箱子的邊長(zhǎng)分別為a,b,(a>0,b>0). 由條件知 3(a+b)≤273,，為求最大取等號(hào)，故得 a+b=91 設(shè) 根據(jù)題意及上述，要在
兩個(gè)箱子的邊長(zhǎng)分別為 市場(chǎng)調(diào)查思考： ① 商店出售的箱子三邊長(zhǎng)與計(jì)算所得誤差很大，原因： （1） 正方體箱子不易攜帶。 （2） 正方體箱子容量大，但易超重。 ② 很多貨運(yùn)箱的形狀與手提行李箱相比，近似于正方體，因?yàn)樨涍\(yùn)箱可更多地考慮其容積問題。 3．解 設(shè)貸款額（本金）為A（元），貨款期限為n（月），月利率為
根據(jù)題意，當(dāng)k=n 時(shí)， 例如貸款期5年時(shí)， 由 還款總額 60B=11784.60，利息負(fù)擔(dān)總額60B-A=1784.60 ，得到附表2上相應(yīng)的值。 降低貨款利率后， 月均還款 總還款 60B=11408.4，總利息60B-A=1408.4 ，與原附表2中的同期貨款的負(fù)提相比，每月少交6.27 元。一共少負(fù)擔(dān)376.2 元。 對(duì)于n>60（10年）， 20年，月均還款69.24,總還款16617.6,總利息6617.6,與原來比，每月省11.69元，共省2805.6元。 4．解 設(shè)不改造設(shè)備，按原條件生產(chǎn)，n 個(gè)月累計(jì)收入為a(n)，改造設(shè)備后生產(chǎn)，n個(gè)月累計(jì)收入為b(n)。由已知條件a(n)=70n，且可設(shè) 101=b(1)=a+b+c 204=b(2)=4a+2b+c 309=b(3)=9a+3b+c 解此方程組，得到a=1, b=100, c=0 于是 經(jīng)過簡(jiǎn)單計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，5個(gè)月內(nèi)投資不能見效。這是因?yàn)?/p> b(5)-500+100=125<315=a(5)-[3+5+7+9+11], 令 b(n)-500+100>a(n)-[3n+2n(n-1))/2] ， (n>5), 即 當(dāng) 當(dāng) 所以，經(jīng)過9個(gè)月投資才可見效。 5．解 題目中的數(shù)據(jù)均為大致時(shí)間，粗略估計(jì)的量，帶有較多的誤差。因此尋找人口增長(zhǎng)規(guī)律時(shí)不需要，也不應(yīng)該過分強(qiáng)調(diào)規(guī)律與數(shù)據(jù)完全吻合。數(shù)據(jù)中20世紀(jì)以前的人口資料更加粗略，況且人口的預(yù)報(bào)準(zhǔn)確程度主要受到20世紀(jì)人口增長(zhǎng)規(guī)律的影響，因而組建預(yù)報(bào)模型時(shí)，不必要考慮20世紀(jì)以前的數(shù)據(jù)資料，在20世紀(jì)人口增長(zhǎng)速度是逐漸變快的，因此用直線變化（勻速增長(zhǎng)）建模做預(yù)報(bào)是不恰當(dāng)?shù)模蛔鰹槿丝谠鲩L(zhǎng)的模型，一般可以使用指數(shù)關(guān)系 將 模型為 模型的擬合效果為 （人口單位：億） 年 代 1930 1960 1974 1987 1999 人口數(shù) 20 30 40 50 60 擬合數(shù) 19.49 31.70 39.78 49.11 56.61 擬合效果較好，可用于預(yù)報(bào)。 令N(t)=100 ，可求出t=2030.84 ，故可知如果照此規(guī)律大約在2031年世界人口將達(dá)到100億，而于2100年世界人口將達(dá)到307億。 6．解 下面給出一個(gè)簡(jiǎn)單的解法，但它是較粗糙的，不過也實(shí)用。 所謂滿意，可以認(rèn)為從觀禮位置看到的縱列上每個(gè)花的部分是一樣的。 設(shè)觀禮者居高a 米，從觀禮位置看到的縱列上每個(gè)花的部分高度為b 米。 依題意，每列從第一個(gè)人到最后一個(gè)人（第95人）有94個(gè)間空，列長(zhǎng)192米，則每列相鄰二人平均間距約2米。 為簡(jiǎn)單起見，不妨設(shè)位于192米長(zhǎng)的隊(duì)列中點(diǎn)前后的兩人間隔是2米，則 設(shè)第一、二排間距為 x米，則 于是， 7．解 我們給出如下的方法： 從1000人中任取64人，把他們的血樣混合化驗(yàn)（一般地，n 個(gè)人中有k 個(gè)病人，令s 使 若這64人混合血樣合格（化驗(yàn)是陰性），則這64個(gè)人正常，可排除，無需再化驗(yàn)，再?gòu)氖Ｏ挛椿?yàn)的人中任取64個(gè)人，混合血樣化驗(yàn)。 若這64人混合血樣不合格（化驗(yàn)呈陽性），說明這64人中有病人。把這64個(gè)人，分為兩組，每組32人。 任取一組的混合血化驗(yàn)，即可確定有病人的一組。（即只需化驗(yàn)一次，若化驗(yàn)的這組血樣成陰性，則病人在另一組。若化驗(yàn)的這組血樣成陽性，這組有病人，但此時(shí)，另一組也可能有病人）。作為最壞的可能情形，我們無法保證另一組的32人中沒有病人，故選定有病人的一組后，把另一組人退回到未化驗(yàn)的人群中去。 把有病人的這組32人，再分為兩組，每組16人，重復(fù)上述過程。即化驗(yàn)一次，確定有病人的一組，把另一組退回到未化驗(yàn)的人群中。 依次下去，直到找到一個(gè)病人為止。至此一共化驗(yàn)了7次。 再?gòu)奈椿?yàn)的人中任取64人重復(fù)上述過程。 總之，對(duì)每次64人混合血化驗(yàn)成陽性的，通過7次化驗(yàn)可找到1個(gè)病人，由于共有10個(gè)病人，因此，這樣的情形，化驗(yàn)次數(shù)不超過7×10=70 次。對(duì)每次64人混合血化驗(yàn)成陰性的，由于1000=15×64+40 ，化驗(yàn)次數(shù)不超過15次。 故總的化驗(yàn)次數(shù)不超過70+15=85次。
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,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c 時(shí)等號(hào)成立，因此箱子為正方體時(shí)體積最大。
代入b=91-a ，則
顯然，當(dāng)
時(shí)， 有最小值，且
且a+b=91 ，即
，
的條件下求f(a) 的最大值，而
,于是得
厘米和
厘米時(shí)，其體積之和為最大。即為：
，月均還款額為B，令
為第k 個(gè)月末還款后的本利金額，則
,于是
元，得
, 同理可得
于是
, 化簡(jiǎn)得
時(shí)
時(shí)
，其中N(t) 為t 時(shí)人口數(shù)，a,r 為參數(shù)。
式取對(duì)數(shù)可得
它是關(guān)于t 的線性模型，這里 ln為以e底的對(duì)數(shù)。利用1930~1999年的數(shù)據(jù)可以得到lna=-28.33,r=0.0162,
(億) (1930≤t≤1999)
（米） 
，則從n 個(gè)人中任取
個(gè)人一組，當(dāng)n=1000 ，k=10 時(shí)，
