波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克試題及解答

波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克試題及解答

1 設(shè)為正整數(shù)，證明：所有與互質(zhì)且不超過的自然數(shù)的立方和是的倍數(shù)。 　 2 在銳角三角形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，使得。證明：。 　 3 已知正實(shí)數(shù)的和等于1，證明：。 　 4 圓周上的點(diǎn)都被染上了某三種顏色中的一種，證明：在這個(gè)圓周上存在三個(gè)點(diǎn)，它們是某個(gè)等腰三角形的頂點(diǎn)，且它們同色。 　 5 求所有的正整數(shù)對(duì)（），使得與都是完全立方數(shù)。 　 6 點(diǎn)是內(nèi)部或邊界上一點(diǎn)，點(diǎn)分別是點(diǎn)在邊上的垂足，證明：的充要條件是點(diǎn)在邊上。 　 7 證明：對(duì)任意正整數(shù)，和每一個(gè)實(shí)數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得。 　 8 關(guān)于非負(fù)整數(shù)的函數(shù)定義如下：對(duì)任意；對(duì)。證明：對(duì)均有。 　 9 設(shè)為給定的自然數(shù)，且，證明：是一個(gè)完全平方數(shù)。 　 10 設(shè)是三維空間中彼此垂直的三個(gè)單位向量，設(shè)是過點(diǎn)的一個(gè)平面，分別是在平面上的投影。對(duì)任意平面，求數(shù)構(gòu)成的集合。 　 11 設(shè)為正整數(shù)，是具有下述性質(zhì)的個(gè)自然數(shù)構(gòu)成的集合：中任意個(gè)元素中，必有兩個(gè)數(shù)，使得其中一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù)。證明：中存在個(gè)數(shù)，使得對(duì)，均有。 　 12 點(diǎn)分別是銳角三角形的邊上的點(diǎn)，的外接圓交于一點(diǎn)，證明：若，則為三角形的三條高。 　 解答或提示 1 利用結(jié)論：若，則，將與配對(duì)即可證明此題。 　 2 記，則，利用正弦定理可知，，，從而，要證的式子等價(jià)于，最后一式是顯然的。 　 3 注意到，，所以，， 故。 于是，我們有：。 即：。結(jié)合，可知命題成立。 　 4 可以證明：該圓周的內(nèi)接正十三邊形的13個(gè)頂點(diǎn)中，必有同色的三個(gè)點(diǎn)，它們是一個(gè)等腰三角形的頂點(diǎn)。 　 5 設(shè)是滿足條件的正整數(shù)對(duì)，不失一般性，設(shè)， 則：，故，這表明，將之代入，可知是一個(gè)完全立方數(shù)， 從而，是一個(gè)完全立方數(shù)。設(shè)，展開可知，于是。注意到：， 故或，分別求解，可知只能是，進(jìn)而。所求數(shù)對(duì)。 　 6 利用勾股定理易證：等價(jià)于。 　 7 任給，及，令待定， 則： （1） 注意到，對(duì)給定的，有，而（1）式右邊是關(guān)于的連續(xù)函數(shù)（這里為常數(shù)），并且，當(dāng)時(shí)，（1）式右邊。所以，存在，使得（1）式成立。 于是，令，這里使（1）成立，并且，則為滿足條件的實(shí)數(shù)。綜不可知，命題成立。 　 8 構(gòu)造函數(shù)，使。 定義。注意到，由的定義，可知；并且，當(dāng)時(shí)，有： 這表明，與具有相同的初始值和遞推關(guān)系式。而由題中的條件及遞推式，可右對(duì)任意，唯一確定，所以，。 利用的定義，易知，故命題獲證。 　 9 令，即，視為關(guān)于的一元二次方程，可知為一個(gè)完全平方數(shù)，設(shè)，則，若，由為完全平方數(shù)，可知為完全平方數(shù)；若，由，可知，進(jìn)而為偶數(shù)，結(jié)合，可知為偶數(shù)，故，當(dāng)然，，于是，這導(dǎo)致，進(jìn)而為完全平方數(shù)，所以為完全平方數(shù)，綜上可知，總有為完全平方數(shù)。 　 10 所求的集合為，即數(shù).此題等價(jià)于證明：四面體中，若兩兩垂直，則直線與平面所成角的余弦的平方和為常數(shù)（注：這個(gè)常數(shù)等于2）。這是一個(gè)不難的常規(guī)立體幾何問題。 　 11 對(duì)任意個(gè)自然數(shù)，若對(duì)，均有，則稱（）為一條鏈稱為該鏈的首元，為鏈長。對(duì)中的每一個(gè)元素，考慮取自的以為首元的鏈中最長的鏈，記此鏈的長度為，則中必有一個(gè)數(shù)不小于。 事實(shí)上，若對(duì)，均有，則中必有個(gè)數(shù)相等，不失一般性，設(shè)，則由的性質(zhì)，可知必有一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，不妨設(shè)，則將置于以為首元的那條最長鏈，我們得到一條長為的，以為首元的鏈，而這與矛盾。從而，中必有一個(gè)數(shù)不小于。 利用上述結(jié)論，不妨設(shè)，則中存在個(gè)數(shù)，使得對(duì)均有。于是，令，則即為中滿足條件的個(gè)數(shù)。 　 12 先證一個(gè)引理。 　 引理 任給一個(gè)三角形和，滿足，且 則：。 引理的證明作一個(gè)三角形，使∽，且，。 則： 故，即，所以，。 　 下面分二步來證明原題。 第一步 證。先證，若，不妨設(shè)，則。利用條件及引理，可知：與中，有；和中，有；與中，也有。于是，矛盾。 所以，，而。 故。所以，同理還可證。 第二步 證明三點(diǎn)共線，從而為的垂心。 設(shè)的外心分別為，并設(shè)它們的外接圓半徑分別為分別是與的交點(diǎn)。 由條件及，可知∽故。利用正弦定理，可知故，同理，于是，，即為的外心。 由的定義，可知，所以，分別為的中點(diǎn)（注意，這里用到為的外心），結(jié)合為的外心，可知為的垂心，故。結(jié)合為的中點(diǎn)，故∥，從而，故共線。