希望杯”數學邀請賽培訓題4

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希望杯”數學邀請賽培訓題4

解答題 76．一輛公共汽車由起點站到終點站（含起點站與終點站在內）共行駛8個車站。已知前6個車站共上車100人，除終點站外共下車總計80人，問從前6站上車而在終點下車的乘客共有多少人？ 77．已知代數式，當時的值分別為1－，2，2，而且不等于0，問當時該代數式的值是多少？ 78．如圖，在一環行軌道上有三枚彈子同時沿逆時針方向運動。已知甲于第10秒鐘時追上乙，在第30秒時追上丙，第60秒時甲再次追上乙，并且在第70秒時再次追上丙，問乙追上丙用了多少時間？ 79．有理數均不為0，且設試求代數式2000之值。 80．已知為整數，如果，請你證明：。 答案與提示 76．設第1站到第7站上車的乘客依次為： 第2站到第8站下車和乘客依次為： 顯然應有：＝ 已知＝100，＝80， 代入    100＋    即  這表明，從前6站上車而在終點站下車的乘客共20個。   77．將分別代入該代數式，得到 由此可得          將代入第一個和第三個等式中，得  ∴；    進而得到  將和代入代數式中，得到＝ ；再將代入，得  即當時該代數式的值是     78．設甲的運動速度是  乙的運動速度是，丙的運動速度是．設環形軌道長為L。甲比乙多運動一圈用時50秒，故有－＝    ① 甲比丙多運動一圈用時40秒，故有－＝            ② ②－①可得到－＝－＝                      ③                 ④                ⑤ 甲、乙、丙初始位置時，乙、丙之間的距離＝甲、丙之間距離－甲、乙之間距離 ＝（－）×30－（ －）×10； 乙追上丙所用時間＝ ＝秒．所以第110秒時，乙追上丙．   79．由均不為0，知均不為0．又中不能全同號，故必一正二負或一負二正．于是 即  所以中必有兩個同號，另一個符號其相反，即其值為兩個＋1，一個－1或兩個－1，一個＋1． ∴     因此，      80．已知又已知即存在整數，使得 所以   由整除性質得