高中數學公式對數的性質及其公式

　　用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a為底，b的對數

　　*表示乘號，/表示除號

　　定義式：

　　若a^n=b(a>0且a≠1)

　　則n=log(a)(b)

　　基本性質：

　　1.a^(log(a)(b))=b

　　2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

　　3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);

　　4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

　　推導

　　1.這個就不用推了吧，直接由定義式可得(把定義式中的[n=log(a)(b)]帶入a^n=b)

　　2.

　　MN=M*N

　　由基本性質1(換掉M和N)

　　a^[log(a)(MN)]=a^[log(a)(M)]*a^[log(a)(N)]

　　由指數的性質

　　a^[log(a)(MN)]=a^{[log(a)(M)]+[log(a)(N)]}

　　又因為指數函數是單調函數，所以

　　log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)

　　3.與2類似處理

　　MN=M/N

　　由基本性質1(換掉M和N)

　　a^[log(a)(M/N)]=a^[log(a)(M)]/a^[log(a)(N)]

　　由指數的性質

　　a^[log(a)(M/N)]=a^{[log(a)(M)]-[log(a)(N)]}

　　又因為指數函數是單調函數，所以

　　log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)

　　4.與2類似處理

　　M^n=M^n

　　由基本性質1(換掉M)

　　a^[log(a)(M^n)]={a^[log(a)(M)]}^n

　　由指數的性質

　　a^[log(a)(M^n)]=a^{[log(a)(M)]*n}

　　又因為指數函數是單調函數，所以

　　log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

　　其他性質：

　　性質一：換底公式

　　log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)

　　推導如下

　　N=a^[log(a)(N)]

　　a=b^[log(b)(a)]

　　綜合兩式可得

　　N={b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

　　又因為N=b^[log(b)(N)]

　　所以

　　b^[log(b)(N)]=b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

　　所以

　　log(b)(N)=[log(a)(N)]*[log(b)(a)]{這步不明白或有疑問看上面的}

　　所以log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)

　　性質二：（不知道什么名字）

　　log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

　　推導如下

　　由換底公式[lnx是log(e)(x),e稱作自然對數的底]

　　log(a^n)(b^m)=ln(a^n)/ln(b^n)

　　由基本性質4可得

　　log(a^n)(b^m)=[n*ln(a)]/[m*ln(b)]=(m/n)*{[ln(a)]/[ln(b)]}

　　再由換底公式

　　log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

　　--------------------------------------------（性質及推導完）

　　公式三:

　　log(a)(b)=1/log(b)(a)

　　證明如下:

　　由換底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)----取以b為底的對數,log(b)(b)=1

　　=1/log(b)(a)

　　還可變形得:

　　log(a)(b)*log(b)(a)=1

　　三角函數的和差化積公式

　　sinα＋sinβ＝2sin（α＋β）/2·cos（α－β）/2

　　sinα－sinβ＝2cos（α＋β）/2·sin（α－β）/2

　　cosα＋cosβ＝2cos（α＋β）/2·cos（α－β）/2

　　cosα－cosβ＝－2sin（α＋β）/2·sin（α－β）/2

　　三角函數的積化和差公式

　　sinα·cosβ＝1/2[sin（α＋β）＋sin（α－β）]

　　cosα·sinβ＝1/2[sin（α＋β）－sin（α－β）]

　　cosα·cosβ＝1/2[cos（α＋β）＋cos（α－β）]

　　sinα·sinβ＝-1/2[cos（α＋β）－cos（α－β）]