專題突破：高一數學集合知識點梳理(2)

　　【例2】定義集合A*B={x|x∈A且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，則A*B的子集個數為（   ）

　　A）1       B）2        C）3      D）4

　　分析：確定集合A*B子集的個數，首先要確定元素的個數，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n個來求解。

　　解答：∵A*B={x|x∈A且x B}， ∴A*B={1,7}，有兩個元素，故A*B的子集共有22個。選D。

　　變式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a∈M，則6?a∈M，那么集合M的個數為（  ）

　　A）5個    B）6個   C）7個   D）8個

　　變式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.

　　解：由已知，集合中必須含有元素a,b.

　　集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

　　評析  本題集合A的個數實為集合{c,d,e}的真子集的個數，所以共有 個 .

　　【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求實數p,q,r的值。

　　解答：∵A∩B={1}   ∴1∈B     ∴12?4×1+r=0,r=3.

　　∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3},  ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A

　　∵A∩B={1}   ∴1∈A    ∴方程x2+px+q=0的兩根為-2和1，

　　∴    ∴

　　變式：已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求實數b,c,m的值.

　　解：∵A∩B={2}  ∴1∈B    ∴22+m?2+6=0,m=-5

　　∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3}   ∵A∪B=B  ∴

　　又 ∵A∩B={2}  ∴A={2}   ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

　　∴b=-4,c=4,m=-5

　　【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B滿足：A∪B={x|x>-2}，且A∩B={x|1<x≤5}，試求集合B。

　　分析：先化簡集合A，然后由A∪B和A∩B分別確定數軸上哪些元素屬于B，哪些元素不屬于B。

　　解答：A={x|-2<x<-1或x>1}。由A∩B={x|1<x≤5}可知(1,5) B，而(-2,-1)∪(5,+∞)∩B=φ；由A∪B={x|x>-2}可知[-1,1] B，而(-∞,-2)∩B=ф。

　　綜合以上各式有B={x|-1≤x≤5}

　　變式1：若A={x|x3+2x2-8x>0}，B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4}，A∩B=Φ,求a,b。（答案：a=-2，b=0）

　　點評：在解有關不等式解集一類集合問題，應注意用數形結合的方法，作出數軸來解之。

　　變式2：設M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，求所有滿足條件的a的集合。

　　解答：M={-1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M

　　①當 時，ax-1=0無解，∴a=0      ②

　　綜①②得：所求集合為{-1，0， }

　　【例5】已知集合 ，函數y=log2(ax2-2x+2)的定義域為Q，若P∩Q≠Φ，求實數a的取值范圍。

　　分析：先將原問題轉化為不等式ax2-2x+2>0在 有解，再利用參數分離求解。

　　解答：（1）若 ， 在 內有有解

　　令 當 時，

　　所以a>-4,所以a的取值范圍是

　　變式：若關于x的方程 有實根,求實數a的取值范圍。

　　解答：

　　點評：解決含參數問題的題目，一般要進行分類討論，但并不是所有的問題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類問題的關鍵。