高二數學趣味學習：整數與偶數哪一種數多？

　　導讀：整數與偶數，哪一種數多？欲知答案，請看下文。

　　如果我問你：“整數與偶數，哪一種數多？”恐怕不少同學都會說：“當然整數比偶數多了。”進一步，恐怕還會有同學告訴我：“偶數的個數等于整數個數的一半！”

　　什么道理呢？那是因為“奇數與偶數合起來就是整數。而奇數與偶數是相間排列的，所以奇數與偶數一樣多，它們都是整數的一半。”

　　“整數包括偶數，偶數是整數的一部分，全量大于部分，整數比偶數多這不是顯而易見、再明白不過的事嗎？”

　　你認為這樣回答有道理嗎？

　　這真是不成問題的問題！可是，且慢，往往就在這種最不成問題的問題上出了問題。比如，我們要比較兩個班級的人數的多少，該怎么辦呢？通常有兩種辦法：

　　1．分別數出這兩個班的人數，然后比較兩個班人數的多少。

　　2．讓兩個班同學分別排成一路縱隊，讓兩班排第一的兩人牽起手來，排第二的兩人也牽起手來，…，以后的同學依次對應牽起手來。最后，如果某班所有的同學都與另一班的同學牽起了手，而另一班還有同學未與某班同學牽手，則某班同學比另一班人數少。

　　現在我們再來看整數與偶數的多少問題吧！

　　1．你能數出整數有多少個？偶數有多少個來嗎？由于整數與偶數都有無窮多個，當然我們都不能數出它們的個數。

　　所以，用第一種辦法來比較整數與偶數的多少是行不通的。

　　現在來考慮第二種辦法，我們可以把整數排成一隊：

　　0，-1，1，-2，2，-3，3，…，-n，n，…。

　　然后再把偶數也排成一隊：

　　0，-2，2，-4，4，-6，6，…，-2n，2n，…。

　　這樣排好之后，所有的整數都排進了第一隊中，所有的偶數都排進第二隊中。現在讓第一隊中的0與第二隊中的0“牽起手”來（即對應起來），第一隊中的-1與第二隊中的-2對應；第一隊中的1與第二隊中的2對應；……，第一隊中的-n與第二隊中的-2n對應；第一隊中的n與第二隊中的2n對應，……你看，這么一個對一個地“牽好手”（即建立起“一一對應關系”之后），我們馬上可以發現，第一隊中的每個數都與第二隊中的某個數對應，而第二隊的每個數都與第一隊的某個數對應，兩個隊伍都沒有任何一數剩下來，既然如此，你能說整數比偶數多嗎？看來不能。這就是說：整數與偶數同樣多！

　　這真似乎有悖常理了，部分竟然等于全體！但這確是事實！這告訴我們，“無窮”是不能用“有限”中的法則來衡量的，許多對“有限”成立的性質對“無窮”卻未必成立。

　　著名的數學家康托（Cantor，1829-1920）首先想通了這個問題。著名數學家希爾伯特則講了下面一個例子：

　　一家旅館有無窮多間房間。某天，所有房間都客滿了，這時又來了一位旅客，“沒問題！”老板說，他馬上請一號房的客人移到二號房，二號房的客人移至三號房，三號房的客人移至四號房，等等。由于房間有無限多，自然所有的老客總有房住而新客也都住進去了。

　　而如果有無窮多位客人來怎么辦呢？老板只要請一號房的客人移到二號房，二號房的客人移至四號房，三號房的客人移至六號房，等等，這時，所有單號房間都騰出來讓新來的無窮多位客人住進去了。

　　按照康托建立的法則（即建立起“一一對應關系”），我們可以比較任何兩個無窮集合的數目的多少，而且可以得出許多驚人的結論。這里就不一一列舉這些奇妙的結論了。