高中數學解析幾何中求參數取值范圍的方法(2)

　　二、利用判別式構造不等式

　　在解析幾何中,直線與曲線之間的位置關系,可以轉化為一元二次方程的解的問題,因此可利用判別式來構造不等式求解.

　　例4設拋物線y2 = 8x的準線與x軸交于點Q,若過點Q的直線L與拋物線有公共點,則直線L的斜率取值范圍是 ( )

　　A [-12 ,12 ] B [-2,2] C [-1,1] D [-4,4]

　　分析:由于直線l與拋物線有公共點,等價于一元二次方程有解,則判別式△≥0

　　解:依題意知Q坐標為(-2,0) , 則直線L的方程為y = k(x+2)

　　由 得 k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0

　　∵直線L與拋物線有公共點

　　∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故選 (C)

　　例5 直線L: y = kx+1與雙曲線C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的兩點A、B，求實數k的取值范圍.

　　分析:利用直線方程和雙曲線方程得到x的一元二次方程,由于直線與右支交于不同兩點,則△>0,同時,還需考慮右支上點的橫坐標的取值范圍來建立關于k的不等式.

　　解：由 得 (k2-2)x2 +2kx+2 = 0

　　∵直線與雙曲線的右支交于不同兩點，則

　　解得 -2<-2< p>

　　三、利用點與圓錐曲線的位置關系構造不等式

　　曲線把坐標平面分成三個區域，若點P(x0,y0)與曲線方程f(x,y)=0關系：若P在曲線上，則f(x0,y0)=0;若P在曲線內，則f(x0,y0)<0;若P在曲線外，則f(x0,y0)>0;可見，平面內曲線與點均滿足一定的關系。故可用這些關系來構造不等式解題.

　　例6已知橢圓2x2 + y2 = a2 (a>0)與連結兩點A(1,2)、B(2,3)的線段沒有公共點，求實數a的取值范圍.

　　分析:結合點A,B及橢圓位置,可得當AB兩點同時在橢圓內或同時在橢圓外時符合條件.

　　解：依題意可知，當A、B同時在橢圓內或橢圓外時滿足條件。

　　當A、B同時在橢圓內，則

　　解得a >17

　　當A、B同時在橢圓外，則

　　解得0<6< p>

　　綜上所述，解得0<6 或a>17

　　例7若拋物線y2=4mx (m≠0)的焦點在圓(x-2m)2+(y-1)2=4的內部，求實數m的取值范圍.

　　分析:由于焦點(m,0)在圓內部,則把(m,0)代入可得.

　　解：∵拋物線的焦點F(m,0)在圓的內部，

　　∴(m-2m)2+(0-1)2<4 即m2<3

　　又∵m≠0

　　∴-3 <0或0<3< p>