2019年高考數學總復習專練：微積分基本定理

　　高考數學總復習:  微積分基本定理

　　考點一.定積分的計算   ( )

　　1.計算（1） dx；     （2）    ； (3)  (3x3＋4sinx)dx；  （4） ；

　　解：（1） dx = 。          （2） = .

　　（3） (3x3＋4sinx)dx＝ =0. （4） = = 。

　　(5)求?1－1(x2＋sin x)dx＝________；(6)f(x)＝x2，x∈[0，1]，2－x，x∈?1，2]，則?20f(x)dx＝________。

　　解：(5)?1－1(x2＋sin x)dx＝?1－1x2dx＋?1－1sin xdx＝2?10x2dx＝2·x33|10＝23.

　　(6)?20f(x)dx＝?10x2dx＋?21(2－x)dx＝13x3|10＋(2x－12x2)|21＝13＋(4－2－2＋12)＝56.

　　考點二。定積分的幾何意義

　　命題點1　利用定積分的幾何意義計算定積分

　　2.(1)求定積分?309－x2dx；          (2)  a2－x2dx(a>0)；      （3） 16＋6x－x2dx；

　　解：(1)?309－x2dx是圓的 ，故?309－x2dx＝π·324＝94π.

　　(2) y＝a2－x2表示以原點為圓心，a為半徑的上半圓，其面積為12·πa2＝πa22，∴  a2－x2dx＝πa22.

　　（3） 16＋6x－x2dx表示此圓面積的14. 故 16＋6x－x2dx＝14·π·52＝254π.

　　命題點2　利用定積分求平面圖形面積  ( )

　　3.(1)求曲線y＝x2和直線x＝0，x＝1及y＝14所圍成的圖形(陰影部分)的面積。

　　解：(1)x2＝14，得x＝12或x＝－12(舍)，S＝ (14－x2)dx＋ (x2－14)dx＝(14x－13x3)120＋(13x3－14x)112＝14.

　　(2)由曲線y＝2x2，直線y＝－4x－2，直線x＝1圍成的封閉圖形的面積為________.

　　解：由y＝2x2，y＝－4x－2，解得x＝－1，面積為?1－1(2x2＋4x＋2)dx＝(23x3＋2x2＋2x) ＝(23×13＋2×12＋2×1)－[23×(－1)3＋2×(－1)2＋2×(－1)]＝163.

　　(3)求曲線 和直線 所圍成的圖形（陰影部分)的面積。

　　解：交點（ ），左邊面積為 ，右邊面積為 ，所以面積為 。

　　（4）求由直線 ， ，曲線 及 軸所圍成的封閉圖形的面積。

　　解：

　　(5)已知曲線y＝x2與直線y＝kx(k>0)所圍成的面積為43，則k＝________.

　　解：y＝x2，y＝kx，得x＝0，y＝0或x＝k，y＝k2，面積為?k0(kx－x2)dx＝(k2x2－13x3)|k0＝k32－k33＝43，即k3＝8，解得k＝2.

　　(6)設 .若曲線 與直線 所圍成封閉圖形的面積為 ，則 _____.

　　解：由已知得 ，所以 ，所以 。[來源:學+科+網]

　　（7）求 與x-2y-3=0圍成圖形的面積。

　　解： 交點（1，-1）和（9,3），則 = 。

　　考點三。定積分與旋轉體體積

　　4.（1）求 ：（1）繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積。（2）繞y軸旋轉而成的旋轉體的體積

　　解：(1) ;   (2) = .

　　（2）求由

　　解：