高考數(shù)學(xué)函數(shù)最值問題解題策略

　　高中函數(shù)最值問題解題策略

　　高中函數(shù)最值問題，蘊(yùn)含了許多數(shù)學(xué)思想方法，因而最能考察學(xué)生的邏輯思維能力。函數(shù)最值問題，一直是教學(xué)的重點(diǎn)，也是高考重要考點(diǎn)。然而，從近幾年高考得分率來看，學(xué)生對這一考點(diǎn)的只是依舊不能熟練掌握。本文從理論基礎(chǔ)、解題策略。典型例題三個方面對高中階段的函數(shù)最值問題的解題方法做了歸納。

　　1、導(dǎo)數(shù)法，適用于一元多項(xiàng)式函數(shù)

　　理論：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在某點(diǎn)出的導(dǎo)數(shù)就是該函數(shù)圖象的過該點(diǎn)的切線的斜率。顯然，過函數(shù)圖象最高點(diǎn)或最低點(diǎn)作該函數(shù)的切線，切線應(yīng)該水平，水平位置的直線斜率當(dāng)然為零，該點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值就是函數(shù)的最值。函數(shù)的最值具有區(qū)間性，它與函數(shù)的極值和區(qū)端點(diǎn)出的函數(shù)值有關(guān)。

　　解題策略：欲求函數(shù)的最值，必先求出函數(shù)的極值。求函數(shù)極值方法是：求 得導(dǎo)函數(shù) ，求方程 =0的根；根據(jù) 判斷原函數(shù)的單調(diào)性，確定極值。求函數(shù)最值得方法是：設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 上為連續(xù)的一元函數(shù)，先按照上面的步驟求出極值，再求出端點(diǎn)處的函數(shù)值，最后比較這些值得大小，最大者為最大值，最小者為最小值。

　　2、均值不等式法，適用于滿足于滿足均值不等式條件的分式不等式求最值

　　理論：若 ,則 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立。均值不等式還有其它的表示方法，并且可以推廣到左邊為任意多個正數(shù)相加的情況。

　　解題策略：利用均值不等式求和的最小值或積的最大值時，一定要同時滿足三個條件，一正、二定、三相等，它們分別指，不等式各項(xiàng)都為正實(shí)數(shù)，和或積為一固定實(shí)數(shù)，并且這些實(shí)數(shù)可以彼此相等，這三個條件缺一不可。

　　3、圖象法

　　利用函數(shù)圖象來解題的思維在數(shù)學(xué)上屬于形象思維。它是零相關(guān)的數(shù)學(xué)概念，結(jié)合圖象，直接得到結(jié)果的數(shù)學(xué)思維過程。從中可以看出，圖象法解題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確畫出圖形。

　　4、利用函數(shù)的有界性

　　在高中階段，有界函數(shù)有： ， 等，用分離參數(shù)的方法即可求出變量的取值范圍，即最值。

　　5、判別式法

　　判別式法有一定的模式，即必須滿足二次函數(shù)的模型。這個方法的理論依據(jù)是將欲求最值的變量看成常量并且作為某二次函數(shù)的系數(shù)，因?yàn)樵摱�次函�?shù)有意義，即該函數(shù)對應(yīng)的方程有零點(diǎn)，故 ，進(jìn)一步得到關(guān)于參數(shù)的二次不等式，解該不等式即可得到最值，這個方法必須要檢驗(yàn)。

　　6、單調(diào)性法

　　函數(shù)在某閉區(qū)間單調(diào)，則該函數(shù)在該區(qū)間必然有最值。這個方法需結(jié)合導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，這一方法對一些難題特別有效。

　　下面我們看看具體的實(shí)例：

　　例1 求 的最值

　　分析：對該函數(shù)求導(dǎo)是不現(xiàn)實(shí)的，因?yàn)橛懈�號，結(jié)果會有分式。它也不是初等函數(shù)模型，所以沒有辦法畫圖。它也不是二次函數(shù)模型，沒有辦法用判別式法。考慮到該函數(shù)的定義域，結(jié)合指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，利用單調(diào)性求最值是最佳選擇。

　　解：由 知，該函數(shù)的定義域是 ，且在該區(qū)間該函數(shù)單調(diào)遞增，故該函數(shù)有最小值為

　　例2 求函數(shù) 的最小值

　　分析:顯然，該函數(shù)滿足均值不等式求最值的模型，即兩個式子的乘積為常數(shù)2，可是，這兩個式子相等時， ，這是不可能的。因此，本題不滿足均值不等式的第三個應(yīng)用條件。要是能聯(lián)想到斜率計(jì)算公式： ，我們就可以利用圖象法來解決這一問題。

　　解: ,該式就是動點(diǎn) 與定點(diǎn)Q（0,4）連線的斜率。由：

　　可得 ，由此可知P點(diǎn)的軌跡是一拋物線的一段，如圖，可得，過端點(diǎn) （2,1）與Q(0,4)的連線的斜率為 ，這也就是 的最小值。

　　求函數(shù)最值的方法還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些，無論用哪種方法，總是不會脫離以上幾種模型。任何一個題目，解題方法都不可能唯一，同樣的道理，任何解題方法都不能是萬能的。在學(xué)習(xí)和應(yīng)用解題模型時，我們更應(yīng)該觸類旁通，舉一反三。總之，多練，多思，多總結(jié)，對提高函數(shù)最值的解題技巧是不無裨益的。