高考數學函數最值問題解題策略

　　高中函數最值問題解題策略

　　高中函數最值問題，蘊含了許多數學思想方法，因而最能考察學生的邏輯思維能力。函數最值問題，一直是教學的重點，也是高考重要考點。然而，從近幾年高考得分率來看，學生對這一考點的只是依舊不能熟練掌握。本文從理論基礎、解題策略。典型例題三個方面對高中階段的函數最值問題的解題方法做了歸納。

　　1、導數法，適用于一元多項式函數

　　理論：函數的導數的幾何意義，函數在某點出的導數就是該函數圖象的過該點的切線的斜率。顯然，過函數圖象最高點或最低點作該函數的切線，切線應該水平，水平位置的直線斜率當然為零，該點對應的函數值就是函數的最值。函數的最值具有區間性，它與函數的極值和區端點出的函數值有關。

　　解題策略：欲求函數的最值，必先求出函數的極值。求函數極值方法是：求 得導函數 ，求方程 =0的根；根據 判斷原函數的單調性，確定極值。求函數最值得方法是：設函數 在閉區間 上為連續的一元函數，先按照上面的步驟求出極值，再求出端點處的函數值，最后比較這些值得大小，最大者為最大值，最小者為最小值。

　　2、均值不等式法，適用于滿足于滿足均值不等式條件的分式不等式求最值

　　理論：若 ,則 ，當且僅當 時，等號成立。均值不等式還有其它的表示方法，并且可以推廣到左邊為任意多個正數相加的情況。

　　解題策略：利用均值不等式求和的最小值或積的最大值時，一定要同時滿足三個條件，一正、二定、三相等，它們分別指，不等式各項都為正實數，和或積為一固定實數，并且這些實數可以彼此相等，這三個條件缺一不可。

　　3、圖象法

　　利用函數圖象來解題的思維在數學上屬于形象思維。它是零相關的數學概念，結合圖象，直接得到結果的數學思維過程。從中可以看出，圖象法解題的關鍵在于準確畫出圖形。

　　4、利用函數的有界性

　　在高中階段，有界函數有： ， 等，用分離參數的方法即可求出變量的取值范圍，即最值。

　　5、判別式法

　　判別式法有一定的模式，即必須滿足二次函數的模型。這個方法的理論依據是將欲求最值的變量看成常量并且作為某二次函數的系數，因為該二次函數有意義，即該函數對應的方程有零點，故 ，進一步得到關于參數的二次不等式，解該不等式即可得到最值，這個方法必須要檢驗。

　　6、單調性法

　　函數在某閉區間單調，則該函數在該區間必然有最值。這個方法需結合導函數分析函數的單調性，這一方法對一些難題特別有效。

　　下面我們看看具體的實例：

　　例1 求 的最值

　　分析：對該函數求導是不現實的，因為有根號，結果會有分式。它也不是初等函數模型，所以沒有辦法畫圖。它也不是二次函數模型，沒有辦法用判別式法。考慮到該函數的定義域，結合指數型函數的性質，利用單調性求最值是最佳選擇。

　　解：由 知，該函數的定義域是 ，且在該區間該函數單調遞增，故該函數有最小值為

　　例2 求函數 的最小值

　　分析:顯然，該函數滿足均值不等式求最值的模型，即兩個式子的乘積為常數2，可是，這兩個式子相等時， ，這是不可能的。因此，本題不滿足均值不等式的第三個應用條件。要是能聯想到斜率計算公式： ，我們就可以利用圖象法來解決這一問題。

　　解: ,該式就是動點 與定點Q（0,4）連線的斜率。由：

　　可得 ，由此可知P點的軌跡是一拋物線的一段，如圖，可得，過端點 （2,1）與Q(0,4)的連線的斜率為 ，這也就是 的最小值。

　　求函數最值的方法還遠遠不止這些，無論用哪種方法，總是不會脫離以上幾種模型。任何一個題目，解題方法都不可能唯一，同樣的道理，任何解題方法都不能是萬能的。在學習和應用解題模型時，我們更應該觸類旁通，舉一反三。總之，多練，多思，多總結，對提高函數最值的解題技巧是不無裨益的。