高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)空間異面直線距離公式

　　高中數(shù)學(xué)要知識(shí)點(diǎn)：空間異面直線

　　1. 空間直線位置分三種：相交、平行、異面。 相交直線共面有反且有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線共面沒有公共點(diǎn)；異面直線不同在任一平面內(nèi)[注]：①兩條異面直線在同一平面內(nèi)射影一定是相交的兩條直線。()(可能兩條直線平行，也可能是點(diǎn)和直線等)②直線在平面外，指的位置關(guān)系：平行或相交③若直線a、b異面，a平行于平面，b與的關(guān)系是相交、平行、在平面內(nèi)。④兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點(diǎn)。⑤在平面內(nèi)射影是直線的圖形一定是直線。()(射影不一定只有直線，也可以是其他圖形)⑥在同一平面內(nèi)的射影長(zhǎng)相等，則斜線長(zhǎng)相等。()(并非是從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段)⑦是夾在兩平行平面間的線段，若，則的位置關(guān)系為相交或平行或異面。

　　2. 異面直線判定定理：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線。(不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線)

　　3. 平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

　　4. 等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等(如下圖).(二面角的取值范圍)(直線與直線所成角)(斜線與平面成角)(直線與平面所成角)(向量與向量所成角推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角(或直角)相等。

　　5. 兩異面直線的距離：公垂線的長(zhǎng)度。空間兩條直線垂直的情況：相交(共面)垂直和異面垂直。是異面直線，則過外一點(diǎn)P，過點(diǎn)P且與都平行平面有一個(gè)或沒有，但與距離相等的點(diǎn)在同一平面內(nèi)。 (或在這個(gè)做出的平面內(nèi)不能叫與平行的平面)

　　二、立體幾何學(xué)習(xí)中的圖形觀知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

　　一、作圖

　　作圖是立體幾何學(xué)習(xí)中的基本功，對(duì)培養(yǎng)空間概念也有積極的意義，而且在作圖時(shí)還要用到許多空間線面的關(guān)系。所以作圖是解決立體幾何問題的第一步，作好圖有利于問題的解決。

　　例1 已知正方體

　　中，點(diǎn)P、E、F分別是棱AB、BC、

　　的中點(diǎn)(如圖1).作出過點(diǎn)P、E、F三點(diǎn)的正方體的截面。

　　分析：作圖是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)弱點(diǎn)，作多面體的截面又是作圖中的難點(diǎn)。學(xué)生看到這樣的題目不知所云。有的學(xué)生連結(jié)P、E、F得三角形以為就是所求的截面。其實(shí)，作截面就是找兩個(gè)平面的交線，找交線只要找到交線上的兩點(diǎn)即可。觀察所給的條件(如圖2)，發(fā)現(xiàn)PE就是一條交線。又因?yàn)槠矫鍭BCD//平面

　　，由面面平行的性質(zhì)可得，截面和面

　　的交線一定和PE平行。而F是

　　的中點(diǎn)，故取

　　的中點(diǎn)Q，則FQ也是一條交線。再延長(zhǎng)FQ和

　　的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)M，由公理3，點(diǎn)M在平面

　　和平面

　　的交線上，連PM交

　　于點(diǎn)K，則QK和KP又是兩條交線。同理可以找到FR和RE兩條交線(如圖2).因此，六邊形PERFQK就是所求的截面。

　　二、讀圖

　　圖形中往往包含著深刻的意義，對(duì)圖形理解的程度影響著我們的正確解題，所以讀懂圖形是解決問題的重要一環(huán)。

　　例2 如圖3，在棱長(zhǎng)為a的正方體

　　中，EF是棱AB上的一條線段，且EF=b

　　上的定點(diǎn)，P在

　　上滑動(dòng)，則四面體PQEF的體積( ).

　　(A)是變量且有最大值(B)是變量且有最小值(C)是變量無最大最小值(D)是常量

　　分析：此題的解決需要我們仔細(xì)分析圖形的特點(diǎn)。這個(gè)圖形有很多不確定因素，線段EF的位置不定，點(diǎn)P在滑動(dòng)，但在這一系列的變化中是否可以發(fā)現(xiàn)其中的穩(wěn)定因素？求四面體的體積要具備哪些條件？

　　仔細(xì)觀察圖形，應(yīng)該以哪個(gè)面為底面？觀察

　　，我們發(fā)現(xiàn)它的形狀位置是要變化的，但是底邊EF是定值，且P到EF的距離也是定值，故它的面積是定值。再發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q到面PEF的距離也是定值。因此，四面體PQEF的體積是定值。我們沒有一點(diǎn)計(jì)算，對(duì)圖形的分析幫助我們解決了問題。

　　三、用圖

　　在立體幾何的學(xué)習(xí)中，我們會(huì)遇到許多似是而非的結(jié)論。要證明它我們一時(shí)無法完成，這時(shí)我們可考慮通過構(gòu)造一個(gè)特殊的圖形來推翻結(jié)論，這樣的圖形就是反例圖形。若我們的心中有這樣的反例圖形，那就可以幫助我們迅速作出判斷。