高一數學學習方法：函數值域必修

　　一.觀察法

　　通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域。

　　例1求函數y=3+√(2-3x) 的值域。

　　點撥：根據算術平方根的性質，先求出√(2-3x) 的值域。

　　解：由算術平方根的性質，知√(2-3x)≥0，

　　本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對于一類函數的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。

　　求函數y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域為：{0，1，2，3，4，5｝)

　　二.反函數法

　　當函數的反函數存在時，則其反函數的定義域就是原函數的值域。

　　例2求函數y=(x+1)/(x+2)的值域。

　　點撥：先求出原函數的反函數，再求出其定義域。

　　解：顯然函數y=(x+1)/(x+2)的反函數為:x=(1-2y)/(y-1),其定義域為y≠1的實數,故函數y的值域為{y?y≠1,y∈R｝。

　　求函數y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函數的值域為{y?y<-1 y="">1｝)

　　三.配方法

　　當所給函數是二次函數或可化為二次函數的復合函數時,可以利用配方法求函數值域

　　例3：求函數y=√(-x2+x+2)的值域。

　　點撥：將被開方數配方成完全平方數，利用二次函數的最值求。

　　解：由-x2+x+2≥0,可知函數的定義域為x∈[-1，2]。此時-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]

　　求函數y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域為{y?y≤3})

　　四.判別式法

　　若可化為關于某變量的二次方程的分式函數或無理函數,可用判別式法求函數的值域。

　　例4求函數y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

　　點撥：將原函數轉化為自變量的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函數的值域。

　　解：將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)

　　當y≠2時,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2

　　求函數y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域為y≤-8或y>0)。

　　五.最值法

　　對于閉區間[a,b]上的連續函數y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的最值,可得到函數y的值域。

　　例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數z=xy+3x的值域。

　　點撥：根據已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標函數消元、配方，可求出函數的值域。

　　解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),

　　∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數z在區間[-1,3/2]上連續，故只需比較邊界的大小。

　　當x=-1時，z=-5;當x=3/2時，z=15/4。

　　若√x為實數，則函數y=x2+3x-5的值域為 ( )

　　A.(-∞，+∞) B.[-7，+∞] C.[0，+∞) D.[-5，+∞)

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