高考數學抽象函數求解技巧
來源：網絡資源 2019-05-07 10:57:20
我們把沒有給出具體解析式的函數稱為抽象函數，下文是抽象函數求解技巧，希望可以幫助到同學們。
函數是每年高考的熱點，而抽象函數性質的運用又是函數的難點之一。抽象函數是指沒有給出具體的函數解析式或圖像，但給出了函數滿足的一部分性質或運算法則。此類函數試題既能全面地考查學生對函數概念的理解及性質的代數推理和論證能力，又能綜合考查學生對數學符號語言的理解和接受能力，以及對一般和特殊關系的認識。因此備受命題者的青睞，在近幾年的高考試題中不斷地出現。然而，由于這類問題本身的抽象性和其性質的隱蔽性，大多數學生在解決這類問題時，感到束手無策。下面通過例題來探討這類問題的求解策略。
例：設y=蕊(x)是定義在區間[-1，1]上的函數，且滿足條件：
(i)f(-1)=f(1)=0;
(ii)對任意的u,v∈[-1，1]，都有—f(u)-f(v)—≤—u-v—。
(Ⅰ)證明：對任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f(x)≤1-x;
(Ⅱ)證明：對任意的u,v∈[-1，1]，都有—f(u)-f(v)—≤1。
解題：
(Ⅰ)證明：由題設條件可知，當x∈[-1，1]時，有f(x)=f(x)-f(1)≤—x-1—=1-x,即x-1≤f(x)≤1-x.
(Ⅱ)證明：對任意的u,v∈[-1，1]，當—u-v—≤1時，有—f(u)-f(v)—≤1
當—u-v—>1，u·v<0,不妨設u<0，則v>0且v-u>1,其中v∈(0，1]，u∈[-1，0)
要想使已知條件起到作用，須在[-1，0)上取一點，使之與u配合以利用已知條件，結合f(-1)=f(1)=0知，這個點可選-1。同理，須在(0，1]上取點1，使
之與v配合以利用已知條件。所以，—f(u)-f(v)—≤—f(u)-f(-1)—+—f(v)-f(1)—≤—u+1—+—v-1—=1+u+1-v=2-(v-u)<1
綜上可知，對任意的u,v∈[-1，1]都有—f(u)-f(v)—≤1.
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