高中數(shù)學(xué)線性規(guī)劃知識(shí)點(diǎn)及典型例題詳解

一、知識(shí)梳理

1目標(biāo)函數(shù)：P=2x+y是一個(gè)含有兩個(gè)變量x和y的函數(shù)，稱為目標(biāo)函數(shù)。

2 可行域：約束條件表示的平面區(qū)域稱為可行域。

3 整點(diǎn)：坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)。

4 線性規(guī)劃問(wèn)題：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，通常稱為線性規(guī)劃問(wèn)題。只含有兩個(gè)變量的簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題可用圖解法來(lái)解決。

5整數(shù)線性規(guī)劃：要求量整數(shù)的線性規(guī)劃稱為整數(shù)線性規(guī)劃。

二、疑難知識(shí)導(dǎo)析

線性規(guī)劃是一門(mén)研究如何使用最少的人力、物力和財(cái)力去最優(yōu)地完成科學(xué)研究、工業(yè)設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)管理中實(shí)際問(wèn)題的專門(mén)學(xué)科，主要在以下兩類問(wèn)題中得到應(yīng)用：一是在人力、物力、財(cái)務(wù)等資源一定和條件下，如何使用它們來(lái)完成最多的任務(wù);二是給一項(xiàng)任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來(lái)完成該項(xiàng)任務(wù)。

1對(duì)于不含邊界的區(qū)域，要將邊界畫(huà)成虛線。

2 確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域有種方法，常用的一種方法是“選點(diǎn)法”：任選一個(gè)不在直線上的點(diǎn)，檢驗(yàn)它的坐標(biāo)是否滿足所給的不等式，若適合，則該點(diǎn)所在的一側(cè)即為不等式所表示的平面區(qū)域;否則，直線的另一端為所求的平面區(qū)域。若直線不過(guò)原點(diǎn)，通常選擇原點(diǎn)代入檢驗(yàn)。

3 平移直線y=-kx+P時(shí)，直線必須經(jīng)過(guò)可行域。

4 對(duì)于有實(shí)際背景的線性規(guī)劃問(wèn)題，可行域通常是位于第一象限內(nèi)的一個(gè)凸多邊形區(qū)域，此時(shí)變動(dòng)直線的最佳位置一般通過(guò)這個(gè)凸多邊形的頂點(diǎn)。

5 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無(wú)論此類題目是以什么實(shí)際問(wèn)題提出，其求解的格式與步驟是不變的：

(1)尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù);

(2)由二元一次不等于表示的平面區(qū)域做出可行域;

(3)在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。

積儲(chǔ)知識(shí)：

一、

1.占P(x0，y0)在直線Ax+By+C=0上，則點(diǎn)P坐標(biāo)適合方程，即Ax0+ y0+C=0

2.點(diǎn)P(x0，y0)在直線Ax+By+C=0上方(左上或右下)，則當(dāng)B>0時(shí)，Ax0+ y0+C >0;當(dāng)B<0時(shí)，Ax0+ y0+C<0

3.點(diǎn)P(x0+，y0)D在直線Ax0+ y0+C=0下方(左下或右下)，當(dāng)B>0時(shí)，Ax0+ y0+C<0;當(dāng)B>0時(shí)，Ax0+ y0+C>0

注意：(1)在直線Ax+ By+C=0同一側(cè)的所有點(diǎn)，把它的坐標(biāo)(x，y)代入Ax+ By+C=0，所得實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同。

(2)在直線Ax+ By+C=0的兩側(cè)的兩點(diǎn)，把它的坐標(biāo)代入Ax+ By+C，所得實(shí)數(shù)的符號(hào)相反。

即：

1.點(diǎn)(P x1，y1)和Q(x2，y2)在直線Ax+By+C=0的同側(cè)，則有(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0

2. 點(diǎn)(P x1，y1)和Q(x2，y2)在直線Ax+By+C=0的同側(cè)，則有(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0

二、二元一次不等式表示平面區(qū)域：

①二元一次不等式Ax+By+C>0(或<)在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域，不包括邊界;

②二元一次不等式Ax+By+C≥0(≤0)在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C0

某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域且包括邊界;

注意：作圖時(shí)，不包括邊界畫(huà)成虛線;包括邊界畫(huà)成實(shí)線。

三、判斷二元一次不等式表示哪一側(cè)平面區(qū)域的方法：

方法一：取特殊點(diǎn)檢驗(yàn)：“直線定界、特殊點(diǎn)定域”

原因：由于對(duì)在直線Ax+By+C0的同一側(cè)的所有點(diǎn)(x，y)把它的坐標(biāo)系(x，y)代入Ax+By+C，所得到的實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0，y0)，從Ax0+By0+C的正負(fù)即可判Ax+By+C>0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域。特殊地，當(dāng)C≠0時(shí)，常把原點(diǎn)作為特殊點(diǎn)，當(dāng)C=0時(shí)，可用(0，1)或(1，0)當(dāng)特殊點(diǎn)，若點(diǎn)坐標(biāo)代入適合不等式則此點(diǎn)所在的區(qū)域?yàn)樾璁?huà)的區(qū)域，否則是另一側(cè)區(qū)域?yàn)樾璁?huà)區(qū)域。

方法二：利用規(guī)律：

1.Ax+By+C>0，當(dāng)B>0時(shí)表示直線Ax+By+C=0上方(左上或右上)，當(dāng)B<0時(shí)表示直線Ax+By+C=0下方(左下或右下);

2.Ax+By+C<0，當(dāng)B>0時(shí)表示直線Ax+By+C=0下方(左下或右下)當(dāng)B>0時(shí)表示直線Ax+By+C=0上方(左上或右上)。

四、線性規(guī)劃的有關(guān)概念：

①線性約束條件：

②線性目標(biāo)函數(shù)：

③線性規(guī)劃問(wèn)題：

④可行解、可行域和最優(yōu)解：

典型例題

典型例題——————畫(huà)區(qū)域