高中數學的四種思想方法

2021-05-15 20:08:37高考網整理

高中數學的四種思想方法

　　1.函數與方程思想

　　1.1 函數思想是指用運動變化的觀點去分析和研究數學中的數量關系，建立函數關系或構造函數，再運用函數的圖像與性質去分析、解決相關的問題。

　　函數思想是對函數內容在更高層次上的抽象，概括與提煉。在研究方程、不等式、數列、解析幾何等其他內容時，起著重要作用。

　　1.2 方程思想是分析數學中的等量關系，去構建方程或方程組，通過求解或利用方程的性質去分析解決問題。

　　方程思想是解決各類計算問題的基本思想，是運算能力的基礎。

　　2.數形結合思想

　　數學研究的對象是數量關系和空間形式，即數與形兩個方面。

　　數與形在一定的條件下可以轉化，數形結合的思想對問題的解決有舉足輕重的作用。

　　如某些代數問題、三角問題往往有幾何背景，可以借助幾何特征去解決相關的代數三角問題。而某些幾何問題也往往可以通過數量的結構特征用代數的方法去解決。

　　在一維空間，實數與數軸上的點建立一一對應關系。在二維空間，實數對與坐標平面上的點建立一一對應關系。

　　數形結合中，選擇、填空題側重考查數到形的轉化。在解答題中，考慮推理論證嚴密性，突出形到數的轉化。

　　3.分類與整合思想

　　分類討論思想是對數學對象進行分類尋求解答的一種思想方法。

　　分類的原則：分類不重不漏。

　　分類的步驟：①確定討論的對象及其范圍；②確定分類討論的分類標準；③按所分類別進行討論；④歸納小結、綜合得出結論。

　　分類討論問題的關鍵是化整為零，通過局部討論以降低難度。常見的類型：

　　3.1 由數學概念引起的的討論，如實數、有理數、絕對值、點(直線、圓)與圓的位置關系等概念的分類討論；

　　3.2 由數學運算引起的討論，如不等式兩邊同乘一個正數還是負數的問題；

　　3.3 由性質、定理、公式的限制條件引起的討論，如一元二次方程求根公式的應用引起的討論；

　　3.4 由圖形位置的不確定性引起的討論，如直角、銳角、鈍角三角形中的相關問題引起的討論。

　　3.5 由某些字母系數對方程的影響造成的分類討論，如二次函數中字母系數對圖象的影響，二次項系數對圖象開口方向的影響，一次項系數對頂點坐標的影響，常數項對截距的影響等。

　　4.化歸與轉化思想

　　化歸與轉化思想是一切數學思想方法的核心。

　　數形結合的思想體現了數與形的轉化。

　　函數與方程的思想體現了函數、方程、不等式之間的相互轉化。

　　分類討論思想體現了局部與整體的相互轉化。

　　所以，以上三種思想也是轉化與化歸思想的具體呈現。

　　轉化包括等價轉化和非等價轉化。

　　等價轉化要求在轉化的過程中前因和后果是充分的也是必要的。

　　不等價轉化就只有一種情況，因此，結論要注意檢驗、調整和補充。

　　轉化的原則：將不熟悉和難解的問題轉化為熟知的、易解的和已經解決的問題。將抽象的問題轉化為具體的和直觀的問題。將復雜的轉化為簡單的問題。將一般的轉化為特殊的問題。將實際的問題轉化為數學的問題等等，使問題易于解決。