等價(jià)矩陣的秩相等嗎?
來源：高三網(wǎng) 2021-11-29 22:28:43
相等。在線性代數(shù)和矩陣論中，有兩個(gè)m×n階矩陣A和B，如果這兩個(gè)矩陣滿足B=QAP（P是n×n階可逆矩陣，Q是m×m階可逆矩陣），那么這兩個(gè)矩陣之間是等價(jià)關(guān)系。也就是說，存在可逆矩陣（P、Q)，使得A經(jīng)過有限次的初等變換得到B。
1等價(jià)矩陣性質(zhì)
矩陣A和A等價(jià)(反身性）；
矩陣A和B等價(jià)，那么B和A也等價(jià)(等價(jià)性）；
矩陣A和B等價(jià)，矩陣B和C等價(jià),那么A和C等價(jià)（傳遞性）；
矩陣A和B等價(jià)，那么IAI=KIBI。(K為非零常數(shù))
具有行等價(jià)關(guān)系的矩陣所對(duì)應(yīng)的線性方程組有相同的解對(duì)于相同大小的兩個(gè)矩形矩陣，它們的等價(jià)性也可以通過以下條件來表征：
（1）矩陣可以通過基本行和列操作的而彼此變換。
（2）當(dāng)且僅當(dāng)它們具有相同的秩時(shí)，兩個(gè)矩陣是等價(jià)的。
2矩陣的秩
矩陣的秩是線性代數(shù)中的一個(gè)概念。在線性代數(shù)中，一個(gè)矩陣A的列秩是A的線性獨(dú)立的縱列的極大數(shù)，通常表示為r(A)，rk(A)或rank A。
在線性代數(shù)中，一個(gè)矩陣A的列秩是A的線性獨(dú)立的縱列的極大數(shù)目。類似地，行秩是A的線性無關(guān)的橫行的極大數(shù)目。即如果把矩陣看成一個(gè)個(gè)行向量或者列向量，秩就是這些行向量或者列向量的秩，也就是極大無關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)。
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