裂項相消是什么？
來源：高三網 2021-11-29 23:15:48
裂項相消是分解與組合思想在數列求和中的具體應用。裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的。
1裂項相消公式
（1）1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]
（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5）n·n!=(n+1)!-n!
（6）1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]
（7）1/[√n+√（n+1）]=√（n+1）-√n
（8）1/（√n+√n+k）=（1/k）·[√（n+k）-√n]
2裂項相消的例子
[例] 求數列an=1/n(n+1) 的前n項和.
解：設 an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂項）
則 Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂項求和）
＝ 1-1/(n+1)
＝ n/(n+1)
小結：此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之后，其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。
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