2025年高考數(shù)學(xué)線性規(guī)劃知識要點
來源：網(wǎng)絡(luò)整理 2024-11-13 11:24:47
簡單的線性規(guī)劃問題是高考的熱點之一，是歷年高考的必考內(nèi)容，主要以填空題的形式考查最優(yōu)解的最值類問題的求解，高考的命題主要圍繞線性規(guī)劃知識要點有以下幾個方面：
(1) 常規(guī)的線性規(guī)劃問題，即求在線性約束條件下的最值問題;
(2) 與函數(shù)、平面向量等知識結(jié)合的最值類問題;
(3) 求在非線性約束條件下的最值問題;
(4) 考查線性規(guī)劃問題在解決實際生活、生產(chǎn)實際中的應(yīng)用.而其中的第(2)(3)(4)點往往是命題的創(chuàng)新點。
【例1】 設(shè)函數(shù)f(θ)=?3?sin?θ+??cos?θ，其中，角θ的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點?P(x,y)?，且0≤θ≤?π?。
(1) 若點P的坐標(biāo)為12,32，求f(θ)的值;
(2) 若點P(x,y)為平面區(qū)域Ω：x+y≥1,x≤1,y≤1。 上的一個動點，試確定角θ的取值范圍，并求函數(shù)f(θ)的最小值和最大值。
分析 第(1)問只需要運用三角函數(shù)的定義即可;第(2)問中只要先畫出平面區(qū)域Ω，再根據(jù)抽畫出的平面區(qū)域確定角θ的取值范圍，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求f(θ)=a?sin?θ+b?cos?θ型函數(shù)的最值。
解 (1) 由點P的坐標(biāo)和三角函數(shù)的定義可得?sin?θ=32，?cos?θ=12。
于是f(θ)=3?sin?θ+??cos?θ=?3×32+12=2。
(2) 作出平面區(qū)域Ω (即三角形區(qū)域ABC)如圖所示，其中A(1,0)，B(1,1)，?C(0,1)?.于是0≤θ≤?π?2,
又f(θ)=3?sin?θ+?cos?θ=2?sin?θ+?π?6，
且?π?6≤θ+??π?6≤?2?π?3，
故當(dāng)θ+?π?6=?π?2，即θ=?π?3時，f(θ)取得最大值，且最大值等于2;
當(dāng)θ+?π?6=?π?6，即θ=0時，f(θ)取得最小值，且最小值等于1。
點評 本題中的最大的亮點在于以解答題的形式將線性規(guī)劃中的基礎(chǔ)內(nèi)容平面區(qū)域與三角函數(shù)的求值進(jìn)行了的有機綜合，過去歷年高考對線性規(guī)劃考查中并不多見。
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