《學習策略與思維方法》講座 第七講 向你推薦替換分析法

　　第七講

　　向你推薦替換分析法

　　替換分析法是筆者在40余年的數學、物理教學中，運用數學思維處理物理問題的一種解題分析方法。運用這一方法，方便于我們從紛繁復雜的物理情境中，正確地建立物理模型，迅速地確立解題的基本公式（即找準解答問題的突破口），并快捷尋得解題的具體途徑和求解的結果。而且，替換分析法的表述式（簡稱替換分析式），能直觀而簡潔地表現出解題的思路，還能極其方便地換寫成解題的一般表述形式。

　　替換分析法不僅可應用于解答物理問題，而且也可用于其它學科有關問題的解題分析。

　　一、替換分析法的基本思想。

　　任何一個問題所涉及的各個量中，總分三類：已知的，未知但為所求的，未知但非所求的。已知的為已知量，未知但為所求的稱所求量，未知但非所求的為稱不求量。解題就是要依據符合問題規定情境（條件）的有關規律（公式、法則），運用已知量，化去不求量，求出所求量。數學方程論告訴我們：一個方程只能求一個未知量，通常n個方程構成的方程組也只能求n個未知量。其中超量的不求量必須化去，化去的方法總是進行這樣的替換，用含已知量、所求量的解析式替換不求量，使原方程得以變形。而這種量的替換通常要進行到所得方程的個數與未知量的個數相等為止，則此方程或方程組可解，即其中所求未知量可以求出。

　　替換分析法就是通過這種量的替換來尋求解題的具體途徑的一種解題分析方法。

　　二、替換分析法的操作步驟。

　　利用替換分析法解物理問題，一般可分兩步進行：

　　（1）根據題所提供的物理情境（條件），建立物理模型，恰當地選擇物體或物體系，并根據其所處的物理狀態或物理過程，優選一個（或幾個）物理公式作為解題的基本公式。

　　為了解題的簡捷，選作解題的基本公式不僅要滿足題給的物理情境，還應滿足如下條件：①盡可能含所求量；②盡可能多含已知量；③盡可能少含不求量。

　　如果所選的某個基本公式只含一個所求量，其余均為已知量，不含任何不求量，則此基本公式是關于所求量的一元方程，可直接求出相應所求量，故此公式為解此題的最佳基本公式。若解題的基本公式不是最佳的，則應進行下述有關不求量的替換。

　　（2）對解題的基本公式中的不求量進行分析替換，使之成為關于所求量的可解方程或可解方程組。分析替換的原則是，用含已知量和所求量的解析式替換不求量，這種替換要一直進行到解題的基本公式中只含已知量和所求量，不再含不求量。或者在選取的n個物理公式中，經過對不求量的不斷分析替換，使之成為包括所求量在內共含n個未知量的n元方程組，這樣就可求出相應的所求量(特殊情況下，在n個方程構成的方程組里，可以求出多于n個未知量中的某些所求量)。

　　容易看出：若所選取的解題基本公式不同，或者所進行的不求量的分析替換不同，則表現為不同的解法。若對解題基本公式所進行的不求量替換次數不同，則解法的繁簡不同。次數越少的越簡潔，越多的越繁雜。解題的目標是迅速獲得含所求量的一元方程或n個方程組成的n元方程組，而優化解題的關鍵在優選解題的基本公式和減少分析替換的次數，也即優選解題突破口和優選解題路徑。