2019年高考一輪復習數學知識點：壓軸題第二問詳解
來源：網絡資源 2018-10-19 20:14:54
數學高考適應性測試壓軸題第二問的簡化證明
21．（本小題滿分12分）設函數 （ ）．
（1）求 的單調區間；（2）求 的零點個數；
（3）證明：曲線 沒有經過原點的切線．
關于第二問的簡化解答如下【原創】
解
知故 在 內有且僅有一個零點
綜合【1】，【2】得， 當 時， 有且僅有一個零點。
資料來源--學科網，天利38套
原參考解答【解析】（1） 的定義域為 ， ．令 ，得 ．
當 ，即 時， ，∴ 在 內單調遞增．
當 ，即 時，由 解得
， ，且 ，
在區間 及 內, ，在 內， ，
∴ 在區間 及 內單調遞增，在 內單調遞減．
（2）由（1）知，當 時， 在 內單調遞增，
∴ 最多只有一個零點．
又∵ ，∴當 且 時， ；
當 且 時， ，故 有且僅有一個零點．
當 時，∵ 在 及 內單調遞增，在 內單調遞減，
且
，而 ，
（∵ ），
∴ ，由此知 ，
又∵當 且 時， ，故 在 內有且僅有一個零點．
綜上所述，當 時， 有且僅有一個零點．
（3）假設曲線 在點 （ ）處的切線經過原點，
則有 ，即 ，
化簡得： （ ）．（*）
記 （ ），則 ，
令 ，解得 ．當 時， ，當 時， ，
∴ 是 的最小值，即當 時， ．
由此說明方程（*）無解，∴曲線 沒有經過原點的切線．
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