高二數(shù)學如何判斷充分與必要條件的方法

2024-09-11 08:42:10網絡整理

　　一、定義法

　　對于“?圯”,可以簡單的記為箭頭所指為必要,箭尾所指為充分。在解答此類題目時,利用定義直接推導,一定要抓住命題的條件和結論的四種關系的定義。

　　例1已知p:-2

　　分析條件p確定了m,n的范圍,結論q則明確了方程的根的特點,且m,n作為系數(shù),因此理應聯(lián)想到根與系數(shù)的關系,然后再進一步化簡。

　　解設x1,x2是方程x2+mx+n=0的兩個小于1的正根,即0

　　而對于滿足條件p的m=-1,n=,方程x2-x+=0并無實根,所以pq。

　　綜上,可知p是q的必要但不充分條件。

　　點評解決條件判斷問題時,務必分清誰是條件,誰是結論,然后既要嘗試由條件能否推出結論,也要嘗試由結論能否推出條件,這樣才能明確做出充分性與必要性的判斷。

　　二、集合法

　　如果將命題p,q分別看作兩個集合A與B,用集合意識解釋條件,則有:①若A?哿B,則x∈A是x∈B的充分條件,x∈B是x∈A的必要條件;②若A?芴B,則x∈A是x∈B的充分不必要條件,x∈B是x∈A的必要不充分條件;③若A=B,則x∈A和x∈B互為充要條件;④若A?芫B且A?蕓B,則x∈A和x∈B互為既不充分也不必要條件。

　　例2設x,y∈R,則x2+y2<2是|x|+|y|≤的()條件,是|x|+|y|<2的()條件。

　　A。充要條件B。既非充分也非必要條件

　　C。必要不充分條件?搖D。充分不必要條件

　　解如右圖所示,平面區(qū)域P={(x,y)|x2+y2<2}表示圓內部分(不含邊界);平面區(qū)域Q={(x,y)||x|+|y|≤}表示小正方形內部分(含邊界);平面區(qū)域M={(x,y)||x|+|y|<2}表示大正方形內部分(不含邊界)。

　　由于(,0)?埸P,但(,0)∈Q,則P?蕓Q。又P?芫Q,于是x2+y2<2是|x|+|y|≤的既非充分也非必要條件,故選B。

　　同理P?芴M,于是x2+y2<2是|x|+|y|<2的充分不必要條件,故選D。

　　點評由數(shù)想形,以形輔數(shù),這種解法正是數(shù)形結合思想在解題中的有力體現(xiàn)。數(shù)形結合不僅能夠拓寬我們的解題思路,而且也能夠提高我們的解題能力

　　三、逆否法

　　利用互為逆否命題的等價關系,應用“正難則反”的數(shù)學思想,將判斷“p?圯q”轉化為判斷“非q?圯非p”的真假。

　　例3(1)判斷p:x≠3且y≠2是q:x+y≠5的什么條件;

　　(2)判斷p:x≠3或y≠2是q:x+y≠5的什么條件。

　　解(1)原命題等價于判斷非q:x+y=5是非p:x=3或y=2的什么條件。

　　顯然非p非q,非q非p,故p是q的既不充分也不必要條件。

　　(2)原命題等價于判斷非q:x+y=5是非p:x=3且y=2的什么條件。

　　因為非p?圯非q,但非q非p,故p是q的必要不充分條件。

　　點評當命題含有否定詞時,可考慮通過逆否命題等價轉化判斷。

　　四、篩選法

　　用特殊值、舉反例進行驗證,做出判斷,從而簡化解題過程。這種方法尤其適合于解選擇題。

　　例4方程ax2+2x+1=0至少有一個負實根的充要條件是()

　　A。0

　　解利用特殊值驗證:當a=0時,x=-,排除A,D;當a=1時,x=-1,排除B。因此選C。

　　點評作為選擇題,利用篩選法避免了復雜的邏輯推理過程,使解題方法更加優(yōu)化,節(jié)省了時間,提高了解題的速度,因此同學們應該注意解題方法的選擇使用。

　　五、傳遞法

　　充分條件與必要條件具有傳遞性,即由P1?圯P2,P2?圯P3,…,Pn-1?圯Pn,可得P1?圯Pn。同樣,充要條件也有傳遞性。對于比較復雜的具有一定連鎖關系的條件,兩個條件間關系的判斷也可用傳遞法來加以處理。

　　例5已知p是r的充分不必要條件,s是r的必要條件,q是s的必要條件,那么p是q的()

　　A。充分不必要條件B。必要不充分條件

　　C。充要條件D。既不充分也不必要條件

　　解由題意可得p?圯r,r?圯s,s?圯q,那么可得p?圯r?圯s?圯q,即p是q的充分不必要條件,故選A。

　　點評對于兩個以上的較復雜的連鎖式條件,利用傳遞性結合符號“?圯”與“”,畫出它們之間的關系結構圖進行判斷,可以直觀快捷地處理問題,使問題得以簡單化。

　　1。求三個方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0至少有一個方程有實根的充要條件。