高中數學解析幾何中求參數取值范圍的方法

　　近幾年來，與解析幾何有關的參數取值范圍的問題經常出現在高考考試中，這類問題不僅涉及知識面廣，綜合性大，應用性強，而且情景新穎，能很好地考查學生的創新能力和潛在的數學素質，是歷年來高考命題的熱點和重點。學生在處理這類問題時，往往抓不住問題關鍵，無法有效地解答，這類問題求解的關鍵在于根據題意，構造相關的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何構造不等式呢？本文介紹幾種常見的方法：

　　一、利用曲線方程中變量的范圍構造不等式

　　曲線上的點的坐標往往有一定的變化范圍,如橢圓 x2a2 + y2b2 = 1上的點P(x,y)滿足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用這些范圍來構造不等式求解,另外,也常出現題中有多個變量,變量之間有一定的關系,往往需要將要求的參數去表示已知的變量或建立起適當的不等式,再來求解.這是解決變量取值范圍常見的策略和方法.

　　例1 已知橢圓 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是橢圓上的兩點,線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P(x0 , 0)

　　求證:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a

　　分析:先求線段AB的垂直平分線方程,求出x0與A,B橫坐標的關系,再利用橢圓上的點A,B滿足的范圍求解.

　　解: 設A,B坐標分別為(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入橢圓方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 ?x2+x1 y2+y1

　　又∵線段AB的垂直平分線方程為

　　y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )

　　令y=0得 x0=x1+x22 ?a2-b2a2

　　又∵A,B是橢圓x2a2 + y2b2 = 1 上的點

　　∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a

　　∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a

　　例2 如圖,已知△OFQ的面積為S,且OF?FQ=1,若 12 < S <2 ,求向量OF與FQ的夾角θ的取值范圍.

　　分析:須通過題中條件建立夾角θ與變量S的關系,利用S的范圍解題.

　　解: 依題意有

　　∴tanθ=2S

　　∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4

　　又∵0≤θ≤π

　　∴π4 <θ< p>

　　例3對于拋物線y2=4x上任一點Q,點P(a,0)都滿足|PQ|≥|a|,則a的取值范圍是 ( )

　　A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p>

　　分析:直接設Q點坐標,利用題中不等式|PQ|≥|a| 求解.

　　解: 設Q( y024 ,y0) 由|PQ| ≥a

　　得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0

　　∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立

　　又∵ y02≥0

　　而 2+ y028 最小值為2 ∴a≤2 選( B )